微積分 【微積分】テイラー展開とマクローリン展開⑤～多変数関数編～
前回 からの続き。 今までは1変数関数のマクローリン展開を中心に見てきたが、今回は多変数関数のマクローリン展開を扱う。 ただし計算が複雑になるので、今回は例は簡単なものに留めておく。 多変数関数の場合の一般論 任意の\(n\)変数関数...
数学
微積分 微積分 【微積分】テイラー展開とマクローリン展開④～1変数関数\(\cot x, \coth x\)編～
前回 からの続き。 マクローリン展開ではないが、最後に三角関数\(cot x\)と双曲線関数\(\coth x\)の多項式展開を扱って1変数関数編を締めたいと思う。 三角関数\(\cot x\)の多項式展開 まず前提として、\(\cot...
微積分 【微積分】テイラー展開とマクローリン展開③～1変数関数\(\tan x, \cosh x, \sinh x, \tanh x\)編～
前回 からの続き。 前回で紹介しきれなかった\(\tan x\)のマクローリン展開に加え、双曲線関数のマクローリン展開も見ていくことにする。 三角関数\(\tan x\)のマクローリン展開 本題に入る前にワンクッション。 天下り式になる...
微積分 【微積分】テイラー展開とマクローリン展開②～1変数関数\(e^x,\cos x, \sin x\)編～
前回 からの続き。 今回から本格的にテイラー展開とマクローリン展開の計算手法を見ていく。 まずは1変数関数のテイラー展開とマクローリン展開から。 1変数関数の場合の一般論 任意の一変数関数\(f(x)\)のk階の導関数を\(f^{(k)...
微積分 【微積分】テイラー展開とマクローリン展開①～本質編～
大学の数学の講義で真っ先に習うものの定番が、テイラー展開とマクローリン展開だろう。 難しそうな名前に尻込みしそうになるかもしれないが、本質は単純だ。 まずは具体的な計算手法には立ち入らず、テイラー展開とマクローリン展開の本質について話す...
行列 【行列】対角化④～実対称行列とエルミート行列の場合～
前回 までで、行列の対角化とその応用まで見てきたが、対角化の記事は今回で最後。 少々おまけ的な位置づけになってしまったが、重要な話なのでしっかり取り上げることにする。 とりあえず、行列に関する記事は今回で区切りをつける。 本記事で...
行列 【行列】対角化③～応用編②～
前回 の続き。 行列の対角化を使ってトクする応用例その2。 連立微分方程式 \(a_{i,j}(i,j=1,2,\cdots d)\)を定数として、次のような連立微分方程式を考える。 \begin{align}\begin{cases}...
行列 【行列】対角化②～応用編①～
前回 にて行列の対角化を紹介した。 今回は、その対角化で何ができるのかと言う話。 おさらい 前回の内容を軽くおさらい。 d次の正方行列\(\mathsf{A}\)の固有値\(\lambda_{i}(i=1,2,\cdots d)\)と...
行列 【行列】対角化①～導入編～
前回 にて、行列の固有値と固有ベクトルを扱った。 この知識を利用して、今回からいよいよ対角化を扱う。 定義 d次の正方行列\(\mathsf{A}\)には、d個の固有値\(\lambda_{i}\)(ただし\(i=1,2,\cdots ...
行列 【行列】固有値と固有ベクトル
前回 までに行列の基本的な性質や、特別な種類の行列を見てきた。 今回からそれらの知識を動員して、行列の固有値と固有ベクトル、そして対角化まで話を進める。 まずは行列の固有値と固有ベクトルについて。 定義と求め方 ゼロベクトルでないベク...