【微積分】テイラー展開とマクローリン展開②～1変数関数$e^x,\cos x, \sin x$編～

　前回

からの続き。

　今回から本格的にテイラー展開とマクローリン展開の計算手法を見ていく。
　まずは1変数関数のテイラー展開とマクローリン展開から。

1変数関数の場合の一般論

　任意の一変数関数$f(x)$のk階の導関数を$f^{(k)}(x)$とおく。このとき$x=a$のまわりで$f(x)$は

$$\begin{align} f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f^{(1)}(a)(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^{2}+\cdots \tag{1}\label{テイラー展開} \end{align}$$

と展開できる。
　($\ref{テイラー展開}$)の無限級数を、関数$f(x)$の$a$のまわりでのテイラー級数と呼び、関数をテイラー級数で表現することをテイラー展開という。

　特に$a=0$のときのテイラー級数

$$\begin{align} f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}=f(0)+f^{(1)}(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^{2}+\cdots \tag{2}\label{マクローリン展開} \end{align}$$

を$f(x)$のマクローリン級数と呼び、関数をマクローリン級数で表現することをマクローリン展開という。
　要は、マクローリン展開はテイラー展開の$x=0$周りの展開バージョンなのだ。

指数関数$e^{x}$のマクローリン展開

　早速、習うより慣れろと言うことで、有名なマクローリン展開をいくつか見ていく。

　

　まず、最も有名なマクローリン展開とも言える、指数関数$f(x)=e^{x}$のマクローリン展開だ。

　指数関数$f(x)=e^{x}$の微分は$f^{(1)}(x)=e^{x}=f(x)$となって元の関数に戻るから、以下帰納的に任意の0以上の整数$k$について$f^{(k)}(x)=e^{x}$である。

　よってマクローリン展開では$x=0$だから、$f^{(k)}(0)=e^{0}=1$となって、導関数の部分はすべて1になる。

　その結果、結局残るのは階乗と$x$の累乗のみとなり、($\ref{マクローリン展開}$)より

$$\begin{align} e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \tag{3}\label{emac} \end{align}$$

と、かなりシンプルな展開になる。

三角関数$\cos x, \sin x$のマクローリン展開

　さてここで、$x\to ix$と置き換えて($\ref{emac}$)を書き直してみる。

$$\begin{align} e^{ix}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{k}}{k!}&=1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+ \frac{(ix)^{4}}{4!}+ \frac{(ix)^{5}}{5!}+ \cdots \\ &=1+ix-\frac{x^{2}}{2!}-\frac{ix^{3}}{3!}+ \frac{x^{4}}{4!}+ \frac{ix^{5}}{5!}+ \cdots \tag{4}\label{eixmac} \end{align}$$

　($\ref{eixmac}$)の最右辺をさらに実部と虚部に分ける。

$$\begin{align} e^{ix}=\left(1 -\frac{x^{2}}{2!}+ \frac{x^{4}}{4!}+\cdots\right)+i\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+ \frac{x^{5}}{5!}+\cdots\right) \tag{5}\label{eixmac2} \end{align}$$

　よって、ここでオイラーの公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x$を思い出せば、($\ref{eixmac2}$)と対比して三角関数$\cos x, \sin x$のマクローリン展開

$$\begin{align} &\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots \tag{6}\label{cosのマクローリン} \\ &\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \tag{7}\label{sinのマクローリン} \end{align}$$

が得られる。

　$\sin x$のマクローリン展開($\ref{sinのマクローリン}$)なんかは、有名な極限式$\lim_{x\to 0}(\sin x/x)$の計算にも一役買い、

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(Ax)}{x}&=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}(Ax)^{2k+1} \\ &=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\left\{Ax-\frac{(Ax)^{3}}{3!}+\frac{(Ax)^{5}}{5!}-\frac{(Ax)^{7}}{7!}+\cdots\right\} \\ &=\lim_{x\to 0}\left\{A-\frac{(Ax)^{2}}{3!}+\frac{(Ax)^{4}}{5!}-\frac{(Ax)^{6}}{7!}+\cdots\right\}=A \tag{8}\label{sinx/xの導出} \end{align}$$

とわかりやすい式変形で計算できる。

　

　さて、ここまで来たら$\tan x$のマクローリン展開も出したいところがだが、長くなるので記事を改めることにする。

　

　下記に続く。