前回
からの続き。
今回から本格的にテイラー展開とマクローリン展開の計算手法を見ていく。
まずは1変数関数のテイラー展開とマクローリン展開から。
1変数関数の場合の一般論
任意の一変数関数f(x)のk階の導関数をf(k)(x)とおく。このときx=aのまわりでf(x)は
f(x)=∞∑k=0f(k)(a)k!(x−a)k=f(a)+f(1)(a)(x−a)+f(2)(a)2!(x−a)2+⋯
と展開できる。
(1)の無限級数を、関数f(x)のaのまわりでのテイラー級数と呼び、関数をテイラー級数で表現することをテイラー展開という。
特にa=0のときのテイラー級数
f(x)=∞∑k=0f(k)(0)k!xk=f(0)+f(1)(0)x+f(2)(0)2!x2+⋯
をf(x)のマクローリン級数と呼び、関数をマクローリン級数で表現することをマクローリン展開という。
要は、マクローリン展開はテイラー展開のx=0周りの展開バージョンなのだ。
指数関数exのマクローリン展開
早速、習うより慣れろと言うことで、有名なマクローリン展開をいくつか見ていく。
まず、最も有名なマクローリン展開とも言える、指数関数f(x)=exのマクローリン展開だ。
指数関数f(x)=exの微分はf(1)(x)=ex=f(x)となって元の関数に戻るから、以下帰納的に任意の0以上の整数kについてf(k)(x)=exである。
よってマクローリン展開ではx=0だから、f(k)(0)=e0=1となって、導関数の部分はすべて1になる。
その結果、結局残るのは階乗とxの累乗のみとなり、(2)より
ex=∞∑k=0xkk!=1+x+x22!+x33!+⋯
と、かなりシンプルな展開になる。
三角関数cosx,sinxのマクローリン展開
さてここで、x→ixと置き換えて(3)を書き直してみる。
eix=∞∑k=0(ix)kk!=1+ix+(ix)22!+(ix)33!+(ix)44!+(ix)55!+⋯=1+ix−x22!−ix33!+x44!+ix55!+⋯
(4)の最右辺をさらに実部と虚部に分ける。
eix=(1−x22!+x44!+⋯)+i(x−x33!+x55!+⋯)
よって、ここでオイラーの公式eix=cosx+isinxを思い出せば、(5)と対比して三角関数cosx,sinxのマクローリン展開
cosx=∞∑k=0(−1)k(2k)!x2k=1−x22!+x44!−x66!+⋯sinx=∞∑k=0(−1)k(2k+1)!x2k+1=x−x33!+x55!−x77!+⋯
が得られる。
sinxのマクローリン展開(7)なんかは、有名な極限式limの計算にも一役買い、
\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(Ax)}{x}&=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}(Ax)^{2k+1} \\ &=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\left\{Ax-\frac{(Ax)^{3}}{3!}+\frac{(Ax)^{5}}{5!}-\frac{(Ax)^{7}}{7!}+\cdots\right\} \\ &=\lim_{x\to 0}\left\{A-\frac{(Ax)^{2}}{3!}+\frac{(Ax)^{4}}{5!}-\frac{(Ax)^{6}}{7!}+\cdots\right\}=A \tag{8}\label{sinx/xの導出} \end{align}
とわかりやすい式変形で計算できる。
さて、ここまで来たら\tan xのマクローリン展開も出したいところがだが、長くなるので記事を改めることにする。
下記に続く。
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