【微積分】テイラー展開とマクローリン展開②~1変数関数\(e^x,\cos x, \sin x\)編~

微積分

 前回

からの続き。

 今回から本格的にテイラー展開とマクローリン展開の計算手法を見ていく。
 まずは1変数関数のテイラー展開とマクローリン展開から。


1変数関数の場合の一般論

 任意の一変数関数\(f(x)\)のk階の導関数を\(f^{(k)}(x)\)とおく。このとき\(x=a\)のまわりで\(f(x)\)は

\begin{align}
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f^{(1)}(a)(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^{2}+\cdots \tag{1}\label{テイラー展開}
\end{align}

と展開できる。
 (\ref{テイラー展開})の無限級数を、関数\(f(x)\)の\(a\)のまわりでのテイラー級数と呼び、関数をテイラー級数で表現することをテイラー展開という。

 特に\(a=0\)のときのテイラー級数

\begin{align}
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}=f(0)+f^{(1)}(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^{2}+\cdots \tag{2}\label{マクローリン展開}
\end{align}

を\(f(x)\)のマクローリン級数と呼び、関数をマクローリン級数で表現することをマクローリン展開という。
 要は、マクローリン展開はテイラー展開の\(x=0\)周りの展開バージョンなのだ。

指数関数\(e^{x}\)のマクローリン展開

 早速、習うより慣れろと言うことで、有名なマクローリン展開をいくつか見ていく。

 

 まず、最も有名なマクローリン展開とも言える、指数関数\(f(x)=e^{x}\)のマクローリン展開だ。

 指数関数\(f(x)=e^{x}\)の微分は\(f^{(1)}(x)=e^{x}=f(x)\)となって元の関数に戻るから、以下帰納的に任意の0以上の整数\(k\)について\(f^{(k)}(x)=e^{x}\)である。

 よってマクローリン展開では\(x=0\)だから、\(f^{(k)}(0)=e^{0}=1\)となって、導関数の部分はすべて1になる。

 その結果、結局残るのは階乗と\(x\)の累乗のみとなり、(\ref{マクローリン展開})より

\begin{align}
e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \tag{3}\label{emac}
\end{align}

と、かなりシンプルな展開になる。

三角関数\(\cos x, \sin x\)のマクローリン展開

 さてここで、\(x\to ix\)と置き換えて(\ref{emac})を書き直してみる。

\begin{align}
e^{ix}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{k}}{k!}&=1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+ \frac{(ix)^{4}}{4!}+ \frac{(ix)^{5}}{5!}+ \cdots \\
&=1+ix-\frac{x^{2}}{2!}-\frac{ix^{3}}{3!}+ \frac{x^{4}}{4!}+ \frac{ix^{5}}{5!}+ \cdots \tag{4}\label{eixmac}
\end{align}

 (\ref{eixmac})の最右辺をさらに実部と虚部に分ける。

\begin{align}
e^{ix}=\left(1 -\frac{x^{2}}{2!}+ \frac{x^{4}}{4!}+\cdots\right)+i\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+ \frac{x^{5}}{5!}+\cdots\right) \tag{5}\label{eixmac2}
\end{align}

 よって、ここでオイラーの公式\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)を思い出せば、(\ref{eixmac2})と対比して三角関数\(\cos x, \sin x\)のマクローリン展開

\begin{align}
&\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots \tag{6}\label{cosのマクローリン} \\
&\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \tag{7}\label{sinのマクローリン}
\end{align}

が得られる。

 \(\sin x\)のマクローリン展開(\ref{sinのマクローリン})なんかは、有名な極限式\(\lim_{x\to 0}(\sin x/x)\)の計算にも一役買い、

\begin{align}
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(Ax)}{x}&=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}(Ax)^{2k+1} \\
&=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\left\{Ax-\frac{(Ax)^{3}}{3!}+\frac{(Ax)^{5}}{5!}-\frac{(Ax)^{7}}{7!}+\cdots\right\} \\
&=\lim_{x\to 0}\left\{A-\frac{(Ax)^{2}}{3!}+\frac{(Ax)^{4}}{5!}-\frac{(Ax)^{6}}{7!}+\cdots\right\}=A \tag{8}\label{sinx/xの導出}
\end{align}

とわかりやすい式変形で計算できる。

 

 さて、ここまで来たら\(\tan x\)のマクローリン展開も出したいところがだが、長くなるので記事を改めることにする。

 

 下記に続く。


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