【微積分】テイラー展開とマクローリン展開③～1変数関数\(\tan x, \cosh x, \sinh x, \tanh x\)編～

　前回

からの続き。

　前回で紹介しきれなかった\(\tan x\)のマクローリン展開に加え、双曲線関数のマクローリン展開も見ていくことにする。

三角関数\(\tan x\)のマクローリン展開

　本題に入る前にワンクッション。
　天下り式になるが、この後の計算で使うので、無限等比級数の公式を下記に示しておく。

\begin{align}
\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}=\frac{1}{1-r} \tag{1}\label{無限等比級数1}
\end{align}

　ただし\(-1<r<1\)である。

　

　では本筋に入る。
　まず\(\tan x\)は、

\begin{align}
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x}{1-(1-\cos x)}=\sin x\cdot\frac{1}{1-(1-\cos x)}
\end{align}

と変形できる。
　よって\(\displaystyle{-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}}\)の範囲であれば、\(0<\cos x\le 1\)より\(0\le\ 1-\cos x<1\)となるため(\ref{無限等比級数1})を使えば、

\begin{align}
\tan x&=\sin x\sum_{k=0}^{\infty}(1-\cos x)^{k}\\
&=\sin x\left\{1+(1-\cos x)+(1-\cos x)^{2}+\cdots\right\}
\end{align}

　となる。ここで\(\cos x\)と\(\sin x\)のマクローリン展開をを使って整理すれば

\begin{align}
\tan x&=\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\right)\left\{1+\left(1-1+\frac{x^{2}}{2!}-\cdots\right)+\left(1-1+\frac{x^{2}}{2!}-\cdots\right)^{2}+\cdots\right\}\\
&=\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\right)\left\{1+\left(\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{4}}{4!}+\cdots\right)+\left(\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{4}}{4!}+\cdots\right)^{2}+\cdots\right\}\\
&=\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\right)\left(1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{5}{4!}x^{4}+\cdots\right) \\
&=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\cdots
\end{align}

となる。よってまとめると

\begin{align}
\tan x=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\cdots
\end{align}

となる。

双曲線関数\(\cosh x, \sinh x, \tanh x\)のマクローリン展開

　双曲線関数と三角関数との対応関係は以下のようになる。

\begin{align}
&\cosh x=\frac{e^{-x}+e^{x}}{2}=\frac{e^{i(ix)}+e^{-i(ix)}}{2}=\cos(ix) \tag{2}\label{cosとcosh} \\
&\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=i\frac{e^{-i(ix)}-e^{i(ix)}}{2i}=-i\frac{e^{i(ix)}-e^{-i(ix)}}{2i}=-i\sin(ix) \tag{3}\label{sinとsinh} \\
&\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{-i\sin(ix)}{\cos(ix)}=-i\tan(ix) \tag{4}\label{tanとtanh}
\end{align}

　よって(\ref{cosとcosh})～(\ref{tanとtanh})と\(\cos x ,\sin x, \tan x\)のマクローリン展開を利用して、双曲線関数のマクローリン展開は以下のようになる。

\begin{align}
&\cosh x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}(ix)^{2k}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!}=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{6}}{6!}+\cdots \\
&\sinh x=-i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}(ix)^{2k+1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \\
&\tanh x=-i\left\{(ix)+\frac{(ix)^{3}}{3}+\frac{2}{15}(ix)^{5}+\cdots\right\}=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\cdots
\end{align}

　

　代表的な1変数関数のマクローリン展開は。これで大体扱えたと思う。

　次回、マクローリン展開ではないが\(\cot x\)と\(\coth x\)の多項式展開を扱ったのち、多変数関数のマクローリン展開に拡張する予定だ。

　下記に続く。