行列 【行列】種々の行列②～実対称行列・エルミート行列・直交行列・ユニタリー行列～
前回からの続き。 ここで、今後の話にも関わる特殊な行列を見ていく。実対称行列とエルミート行列 成分が全て実数であり、かつもとの行列とその転置行列が一致する、すなわち\begin{align}\mathsf{A}=\mathsf{A}^{\t...
数学
行列 行列 【行列】種々の行列①～対角行列・三角行列・転置行列・エルミート共役～
前回からの続き。 今回は様々な特殊な行列を見ていく。 これを抑えておくと、逆行列やディターミナントの計算が格段に楽になる(というかしなくてよい)場合がある。 覚える量は多いがモノにしてもらいたい。対角行列、三角行列 正方行列の内、対角成分\...
行列 【行列】逆行列とディターミナント③～連立1次方程式への応用～
前回からの続き。 今回は応用編。 とは言っても、内容を端的に言うと「連立1次方程式を行列を使って楽に解いてみよう」という話だ。一般論 \(x_{1},x_{2},\cdots,x_{d}\)を変数とする連立1次方程式\begin{align...
行列 【行列】逆行列とディターミナント②～3次の正方行列～
前回の続き。 今回は3次の正方行列のディターミナントと逆行列について見ていく。3次の正方行列の逆行列 さて、次は3次の正方行列の逆行列だが、こちらは2次の正方行列とは全く違う方法で求める。 これは具体的な行列を使った方がわかりやすいので、次...
行列 【行列】逆行列とディターミナント①～一般論と2次の正方行列～
前回の続き。 今回は行列において重要な概念である逆行列を紹介し、そこで登場するディターミナントという数について見ていく。一般論 2つの行列\(\mathsf{A},\mathsf{B}\)があり、その積が\begin{align}\math...
行列 【行列】導入と基本演算
前回まで、物理の問題を解く上で欠かせない微分方程式を扱ってきたが、今回から扱うテーマを大きく変える。 行列は、最初こそ覚えることも多く扱いづらいが、使いこなせるようになると複雑な物理系の問題を解く際に大活躍する。 ここでは導入を必要最低限に...
微分方程式 【微分方程式】特解を使う方法
前回にて、定数変化法で定数係数かつ線形斉次の2階の常微分方程式を完全に解いた。 今回は線形非斉次の常微分方程式を解く際の一般的な方法である、特解を用いた方法について見ていく。一般論 まず、次のような線形非斉次の常微分方程式を考える。\beg...
微分方程式 【微分方程式】定数変化法
前回にて、解を指数関数で置いた上で微分方程式を一般解を求める方法を見てきた。 しかし、上記の方法は完璧な方法ではなく、解が1つしか得られず一般解にこぎつけられない場合があることが判明した。 今回は、そういった場合に用いる解法である定数変化法...
微分方程式 【微分方程式】指数関数を使う方法
前回にて、微分方程式の代表的な解法である変数分離の方法を紹介した。 今回は使用範囲は限定されるが、変数分離の方法と同等に定石と言える解法を見ていく。一般論 今回はいきなり一般論から入る。 以下のような、線形斉次の二階の常微分方程式を考える...
微分方程式 【微分方程式】変数分離形
今回から、微分方程式の具体的な解法を詳しく見ていく。 まずは、一階の常微分方程式の代表的な解法である変数分離の方法から取り上げる。具体例 普通の教科書なら一般論から先に展開するが、ここではあえて具体例を見せて、変数分離の方法の強力さを見ても...