数学

微積分

【微積分】テイラー展開とマクローリン展開⑤~多変数関数編~

 前回 からの続き。  今までは1変数関数のマクローリン展開を中心に見てきたが、今回は多変数関数のマクローリン展開を扱う。  ただし計算が複雑になるので、今回は例は簡単なものに留めておく。 多変...
微積分

【微積分】テイラー展開とマクローリン展開④~1変数関数\(\cot x, \coth x\)編~

 前回 からの続き。  マクローリン展開ではないが、最後に三角関数\(cot x\)と双曲線関数\(\coth x\)の多項式展開を扱って1変数関数編を締めたいと思う。 三角関数\(\cot x\)の多項...
微積分

【微積分】テイラー展開とマクローリン展開③~1変数関数\(\tan x, \cosh x, \sinh x, \tanh x\)編~

 前回 からの続き。  前回で紹介しきれなかった\(\tan x\)のマクローリン展開に加え、双曲線関数のマクローリン展開も見ていくことにする。 三角関数\(\tan x\)のマクローリン展開 ...
微積分

【微積分】テイラー展開とマクローリン展開②~1変数関数\(e^x,\cos x, \sin x\)編~

 前回 からの続き。  今回から本格的にテイラー展開とマクローリン展開の計算手法を見ていく。 まずは1変数関数のテイラー展開とマクローリン展開から。 1変数関数の場合の一般論  任意の一変数関数...
微積分

【微積分】テイラー展開とマクローリン展開①~本質編~

 大学の数学の講義で真っ先に習うものの定番が、テイラー展開とマクローリン展開だろう。  難しそうな名前に尻込みしそうになるかもしれないが、本質は単純だ。  まずは具体的な計算手法には立ち入らず、テイラー展開とマクローリン展開の...
行列

【行列】対角化④~実対称行列とエルミート行列の場合~

 前回 までで、行列の対角化とその応用まで見てきたが、対角化の記事は今回で最後。  少々おまけ的な位置づけになってしまったが、重要な話なのでしっかり取り上げることにする。  とりあえず、行列に関する記事は...
行列

【行列】対角化③~応用編②~

 前回 の続き。  行列の対角化を使ってトクする応用例その2。 連立微分方程式  \(a_{i,j}(i,j=1,2,\cdots d)\)を定数として、次のような連立微分方程式を考える。 ...
行列

【行列】対角化②~応用編①~

 前回 にて行列の対角化を紹介した。  今回は、その対角化で何ができるのかと言う話。 おさらい  前回の内容を軽くおさらい。  d次の正方行列\(\mathsf{A}\)の固有値\(\lamb...
行列

【行列】対角化①~導入編~

 前回 にて、行列の固有値と固有ベクトルを扱った。  この知識を利用して、今回からいよいよ対角化を扱う。 定義  d次の正方行列\(\mathsf{A}\)には、d個の固有値\(...
行列

【行列】固有値と固有ベクトル

 前回 までに行列の基本的な性質や、特別な種類の行列を見てきた。  今回からそれらの知識を動員して、行列の固有値と固有ベクトル、そして対角化まで話を進める。  まず...
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