数学

フーリエ解析

【フーリエ解析】フーリエ級数~問題演習~

 大学時代のノートを見返していたところ、フーリエ級数の応用問題を見つけたので解き直してみた。 問題  以下の各問に答えよ。ただし全問題において\(m,n\)は正の整数とする。 (1) \(\displaystyle{\i...
行列

【行列】ロドリゲスの回転公式~3次元座標における任意の軸まわりの回転~

 行列を用いた代表的な応用として回転が挙げられる。  高校数学でも、x-y平面上の点の原点まわりの回転移動が \begin{align}\begin{pmatrix}x_{2}\\ y_{2}\end{pmatrix}=\be...
関数

【関数】ゼータ関数・ガンマ関数

 前回、物理数学で頻繁に登場するガウス関数とガウス積分を扱った。  今回はまた毛色が異なる関数であるゼータ関数とガンマ関数を見ていく。 概要  \(n>1\)について、 \begin{align}...
関数

【関数】ガウス関数とガウス積分

 大学の数学ではいくつかの特殊な関数を扱う。  今回はそういった中から、有名どころのガウス関数とその積分のガウス積分を見ていく。 概要  \(N>0\)と\(\alpha>0\)を任意定数として \begin{a...
ベクトル解析

【ベクトル解析】ガウスの定理~概要と例題~

 前回 にて、ベクトル解析において重要な定理であるストークスの定理を扱った。  今回も、ベクトル解析にて登場する重要な積分定理の1つであるガウスの定理を見ていく。 概要  ある閉曲面\(S\)があり...
ベクトル解析

【ベクトル解析】ストークスの定理~概要と例題~

 下記2記事にて、線積分と面積分を扱った。  今回はその応用として、線積分と面積分の関係を表した定理であるストークスの定理を扱う。 概要  ある閉じた経路\(C\)があり、...
ベクトル解析

【ベクトル解析】面積分~概要と例題(平面、球面、円筒面上での面積分)~

 前回 にて線積分の概要と例題を取り扱った。  今回はその続きで、面積分の概要を眺め、問題の解き方を解説していく。 概要  面積分も線積分と同様にベクトル場に対して実行する積分である。  ...
ベクトル解析

【ベクトル解析】線積分~概要と例題(直線、円に沿った線積分)~

 物理をする上で必須となる数学の内の1つが「ベクトル解析」だ。  座標の各点に量と向き(要はベクトル)を与える「ベクトル場」なるものが登場し、主にその微分と積分を扱う単元になる。  ベクトルの微分がいわゆるグラディエント(\(...
微積分

【微積分】二変数関数の停留点(極大点・極小点・鞍点)②~問題演習~

 下記記事にて、二変数関数の停留点の求め方を解説した。  今回は付録的な記事になるが、上の記事で扱った例題の類題を解いていく。 問題演習 問題  次の二変数関数\(f(x,y)\)の停留点\((a_{...
微積分

【微積分】多重積分⑥~問題演習③(積分変数の変数変換)~

 前回 からの続き。  今回は、積分変数を変数変換する多重積分の問題演習を進める。 被積分関数が二変数関数の場合 問題  次の二変数関数\(f(x,y)\)を指定された領域\(D\)...
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