微積分 【微積分】多重積分⑥～問題演習③(積分変数の変数変換)～
前回 からの続き。 今回は、積分変数を変数変換する多重積分の問題演習を進める。 被積分関数が二変数関数の場合 問題 次の二変数関数\(f(x,y)\)を指定された領域\(D\)で積分せよ。 (1) \(\displaystyle{f(x...
数学
微積分 微積分 【微積分】多重積分⑤～問題演習②(逐次積分②)～
前回 からの続き。 今回も逐次積分の問題演習だが、積分領域の与えられ方が前回とは異なり、自分で計算式を立式する必要があるので注意。 被積分関数が変数分離できる場合 問題 次の関数\(f(x,y)\)を指定された領域\(D\)で積分せよ。...
微積分 【微積分】多重積分④～問題演習①(逐次積分①)～
前回 までで、多重積分をパターン別に紹介し、各パターンに応じた例題を解いてきた。 今回からは、多重積分を逐次積分と変数変換が必要な多重積分の2つに大きくわけた上で問題演習を進めていく。 必ずしもすべてを解く必要はなく、気になる問題があれ...
微積分 【微積分】多重積分③～積分変数の変数変換～
これまで にて多重積分は下記4つのパターン 1. 積分領域が定数のみで決まり、被積分関数が変数分離できる場合 2. 積分領域が定数のみで決まり、被積分関数が変数分離できない場合 3. 積分領域が変数に依存し、変数変換する必要がない場合 4....
微積分 【微積分】多重積分②～逐次積分～
前回 にて多重積分は下記4つのパターン 1. 積分領域が定数のみで決まり、被積分関数が変数分離できる場合 2. 積分領域が定数のみで決まり、被積分関数が変数分離できない場合 3. 積分領域が変数に依存し、変数変換する必要がない場合 4. 積...
微積分 【微積分】多重積分①～導入と最も単純な場合～
多重積分とは、ざっくばらんに言ってしまえば、関数を複数の変数で積分することである。 高校数学では一変数での積分しか扱わなかったが、ここでは複数の変数で関数を積分する方法を見ていく。 ただし今回は便宜上、定数も関数に含めることとする。 多...
微積分 【微積分】ラプラシアンの極座標表示
下記記事にて、直交座標系から極座標系への座標変換した際のヤコビ行列を導出し、座標変換後の偏微分の表式を求めた。 今回はその結果を利用して、ラプラシアンの極座標表示を導出する。 かなり骨が折れる計算量になるが、詳細計算も示すので不明な場合...
微積分 【微積分】ヤコビ行列とヤコビアン②～直交座標系から極座標系・円筒座標系への変換～
前回 にてヤコビ行列とヤコビアンを紹介し、例題を解いてみた。 本記事では、直交座標系から極座標系および円筒座標系への座標変換する際のヤコビ行列とヤコビアンを求める。 この座標変換は多くの場面で用いられるため、抑えておくと後々楽になる。 ...
微積分 【微積分】ヤコビ行列とヤコビアン①～導入と例題～
多変数関数の微積分において、変数変換は最も頻繁に用いられるテクニックと言ってよい。 変数変換された多変数関数を変換後の変数で微積分する際に活躍するのが、ヤコビ行列とヤコビアンである。 本記事ではヤコビ行列とヤコビアンを導入し、これらを利...
微積分 【微積分】二変数関数の停留点(極大点・極小点・鞍点)
今回は微分の例題として、二変数関数の停留点を求める問題を扱う。 停留点とは、ある関数において微分が0、すなわち関数の変化がなくなる点である。 高校数学における一変数関数の微分の問題で登場する極大点、極小点も停留点の一種だ。 一変数...