行列

本記事では、「行列の特異値分解」を扱う。　簡単に言うと特異値分解とは、正方行列の対角化を一般の行列に拡張したものと考えてよい。　正方行列の対角化は下記を参照。　　厳密な議論は教科書に任せて、本記事では特異値分解の計算に必要な事項を中心にまと...

行列を用いた代表的な応用として回転が挙げられる。　高校数学でも、x-y平面上の点の原点まわりの回転移動が\begin{align}\begin{pmatrix}x_{2}\\ y_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatri...

前回までで、行列の対角化とその応用まで見てきたが、対角化の記事は今回で最後。　少々おまけ的な位置づけになってしまったが、重要な話なのでしっかり取り上げることにする。　とりあえず、行列に関する記事は今回で区切りをつける。　　本記事で取り上げる...

前回の続き。　行列の対角化を使ってトクする応用例その2。連立微分方程式　\(a_{i,j}(i,j=1,2,\cdots d)\)を定数として、次のような連立微分方程式を考える。\begin{align}\begin{cases}\disp...

前回にて行列の対角化を紹介した。　今回は、その対角化で何ができるのかと言う話。おさらい　前回の内容を軽くおさらい。　d次の正方行列\(\mathsf{A}\)の固有値\(\lambda_{i}(i=1,2,\cdots d)\)とそれに対応...

前回にて、行列の固有値と固有ベクトルを扱った。　この知識を利用して、今回からいよいよ対角化を扱う。定義　d次の正方行列\(\mathsf{A}\)には、d個の固有値\(\lambda_{i}\)(ただし\(i=1,2,\cdots d\))...

前回までに行列の基本的な性質や、特別な種類の行列を見てきた。　今回からそれらの知識を動員して、行列の固有値と固有ベクトル、そして対角化まで話を進める。　まずは行列の固有値と固有ベクトルについて。定義と求め方　ゼロベクトルでないベクトル\(\...

前回からの続き。　ここで、今後の話にも関わる特殊な行列を見ていく。実対称行列とエルミート行列　成分が全て実数であり、かつもとの行列とその転置行列が一致する、すなわち\begin{align}\mathsf{A}=\mathsf{A}^{\t...

前回からの続き。　今回は様々な特殊な行列を見ていく。　これを抑えておくと、逆行列やディターミナントの計算が格段に楽になる(というかしなくてよい)場合がある。　覚える量は多いがモノにしてもらいたい。対角行列、三角行列　正方行列の内、対角成分\...

前回からの続き。　今回は応用編。　とは言っても、内容を端的に言うと「連立1次方程式を行列を使って楽に解いてみよう」という話だ。一般論　\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{d}\)を変数とする連立1次方程式\begin{align...