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【行列】特異値分解~概要と例題~

本記事では、「行列の特異値分解」を扱う。 簡単に言うと特異値分解とは、正方行列の対角化を一般の行列に拡張したものと考えてよい。 正方行列の対角化は下記を参照。  厳密な議論は教科書に任せて、本記事では特異値分解の計算に必要な事項を中心にまと...
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【行列】ロドリゲスの回転公式~3次元座標における任意の軸まわりの回転~

行列を用いた代表的な応用として回転が挙げられる。 高校数学でも、x-y平面上の点の原点まわりの回転移動が\begin{align}\begin{pmatrix}x_{2}\\ y_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatri...
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【行列】対角化④~実対称行列とエルミート行列の場合~

前回までで、行列の対角化とその応用まで見てきたが、対角化の記事は今回で最後。 少々おまけ的な位置づけになってしまったが、重要な話なのでしっかり取り上げることにする。 とりあえず、行列に関する記事は今回で区切りをつける。  本記事で取り上げる...
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【行列】対角化③~応用編②~

前回の続き。 行列の対角化を使ってトクする応用例その2。連立微分方程式 \(a_{i,j}(i,j=1,2,\cdots d)\)を定数として、次のような連立微分方程式を考える。\begin{align}\begin{cases}\disp...
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【行列】対角化②~応用編①~

前回にて行列の対角化を紹介した。 今回は、その対角化で何ができるのかと言う話。おさらい 前回の内容を軽くおさらい。 d次の正方行列\(\mathsf{A}\)の固有値\(\lambda_{i}(i=1,2,\cdots d)\)とそれに対応...
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【行列】対角化①~導入編~

前回にて、行列の固有値と固有ベクトルを扱った。 この知識を利用して、今回からいよいよ対角化を扱う。定義 d次の正方行列\(\mathsf{A}\)には、d個の固有値\(\lambda_{i}\)(ただし\(i=1,2,\cdots d\))...
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【行列】固有値と固有ベクトル

前回までに行列の基本的な性質や、特別な種類の行列を見てきた。 今回からそれらの知識を動員して、行列の固有値と固有ベクトル、そして対角化まで話を進める。 まずは行列の固有値と固有ベクトルについて。定義と求め方 ゼロベクトルでないベクトル\(\...
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【行列】種々の行列②~実対称行列・エルミート行列・直交行列・ユニタリー行列~

前回からの続き。 ここで、今後の話にも関わる特殊な行列を見ていく。実対称行列とエルミート行列 成分が全て実数であり、かつもとの行列とその転置行列が一致する、すなわち\begin{align}\mathsf{A}=\mathsf{A}^{\t...
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【行列】種々の行列①~対角行列・三角行列・転置行列・エルミート共役~

前回からの続き。 今回は様々な特殊な行列を見ていく。 これを抑えておくと、逆行列やディターミナントの計算が格段に楽になる(というかしなくてよい)場合がある。 覚える量は多いがモノにしてもらいたい。対角行列、三角行列 正方行列の内、対角成分\...
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【行列】逆行列とディターミナント③~連立1次方程式への応用~

前回からの続き。 今回は応用編。 とは言っても、内容を端的に言うと「連立1次方程式を行列を使って楽に解いてみよう」という話だ。一般論 \(x_{1},x_{2},\cdots,x_{d}\)を変数とする連立1次方程式\begin{align...