【行列】対角化②~応用編①~

行列

 前回

にて行列の対角化を紹介した。

 今回は、その対角化で何ができるのかと言う話。


おさらい

 前回の内容を軽くおさらい。

 d次の正方行列\(\mathsf{A}\)の固有値\(\lambda_{i}(i=1,2,\cdots d)\)とそれに対応する固有ベクトル\(\vec{v}_{i}\)が存在し、

\begin{align}
\mathsf{P}=\begin{pmatrix}\vec{v}_{1}& \vec{v}_{2}&\cdots&\vec{v}_{d}\end{pmatrix},\qquad\Lambda=
\begin{pmatrix}
\lambda_{1}&0&\cdots&0\\
0& \lambda_{2}&\cdots&0\\
0&0&\cdots& \lambda_{d}\end{pmatrix} \tag{1}\label{osarai1}
\end{align}

とすると、

\begin{gather}
\mathsf{A}=\mathsf{P}\Lambda\mathsf{P}^{-1} \tag{2}\label{osarai2}
\end{gather}

および

\begin{gather}
\mathsf{P}^{-1}\mathsf{A} \mathsf{P} =\Lambda \tag{3}\label{osarai3}
\end{gather}

が成立する。
 この、正方行列を固有値の対角行列で表現する操作を対角化と呼ぶ。

累乗計算

 行列を対角化することで格段に楽になるのが、累乗の計算だ。

 試しに(\ref{osarai2})の両辺を2乗すると

\begin{align}
\mathsf{A}^{2}=\mathsf{P}\Lambda\mathsf{P}^{-1}\mathsf{P}\Lambda\mathsf{P}^{-1}= \mathsf{P}\Lambda^{2}\mathsf{P}^{-1}
\end{align}

となり、結局対角行列を2乗すればよいことがわかる。
 対角行列の累乗は、対角成分を累乗するだけで済むため、計算の手間はかなり省ける。

 よって、帰納的に一般のn乗の計算について書き下すと、

\begin{align}
\mathsf{A}^{n}=\mathsf{P}\Lambda^{n}\mathsf{P}^{-1}
\end{align}

となる。

 2乗や3乗程度ならあまりありがたみは感じないかもしれないが、それ以上の計算では途端に威力を発揮することが想像できると思う。

練習問題

 次の2つの行列の4乗を計算せよ(前記事の結果を利用してよい)。

\begin{align}
\mathsf{A}=\begin{pmatrix}6&-2\\1&3\end{pmatrix}\qquad
\mathsf{B}=\begin{pmatrix}
1&3&0\\
-4&6&6\\
0&2&-1
\end{pmatrix}
\end{align}

 まず行列\(\mathsf{A}\)について、前記事の結果より

\begin{align}
\mathsf{A}=\mathsf{P}\Lambda\mathsf{P}^{-1}= \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&0\\0&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}
\end{align}

であるため、4乗を計算すると、

\begin{align}
\mathsf{A}^{4}&= \mathsf{P}\Lambda^{4}\mathsf{P}^{-1} \\
&= \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4^{4}&0\\0&5^{4}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-4^{4}&2\cdot4^{4}\\5^{4}&-5^{4}\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}-4^{4}+2\cdot5^{4}&2\cdot4^{4}-2\cdot5^{4}\\-4^{4}+5^{4}&2\cdot4^{4}-5^{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}994&-738\\369&-113\end{pmatrix}
\end{align}

となる。

 続いて行列\(\mathsf{B}\)について、前記事の結果より
\begin{align}
\mathsf{A}&=\mathsf{P}\Lambda\mathsf{P}^{-1}=\frac{1}{35} \begin{pmatrix}1&3&9\\-1&2&12\\2&1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2&0&0\\0&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4&-3&18\\28&-14&-21\\-5&5&5\end{pmatrix}
\end{align}

であるため、4乗を計算すると、

\begin{align}
\mathsf{A}^{4}&=\mathsf{P}\Lambda^{4}\mathsf{P}^{-1}\\
&=\frac{1}{35} \begin{pmatrix}1&3&9\\-1&2&12\\2&1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}(-2)^{4}&0&0\\0&3^{4}&0\\0&0&5^{4}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4&-3&18\\28&-14&-21\\-5&5&5\end{pmatrix} \\
&=\frac{1}{35} \begin{pmatrix}1&3&9\\-1&2&12\\2&1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-4\cdot(-2)^{4}&-3\cdot(-2)^{4}&18\cdot(-2)^{4}\\
28\cdot3^{4}&-14\cdot3^{4}&-21\cdot3^{4}\\
-5\cdot5^{4}&5\cdot5^{4}&5\cdot5^{4}\end{pmatrix}\\
&= \frac{1}{35} \begin{pmatrix}1&3&9\\-1&2&12\\2&1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-2^{6}& -3\cdot(-2)^{4} &9\cdot2^{5}\\
28\cdot3^{4}&-14\cdot3^{4}&-21\cdot3^{4}\\
-5^{5}&5^{5}&5^{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-611&705&666\\
-940&1008&966\\
-296&322&325
\end{pmatrix}
\end{align}

となる。

 

 もう1つ応用例を紹介するが、長くなるので別記事に書くことにする。

 

 ※下記に続く。


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