【行列】種々の行列②～実対称行列・エルミート行列・直交行列・ユニタリー行列～

　前回

からの続き。

　ここで、今後の話にも関わる特殊な行列を見ていく。

実対称行列とエルミート行列

　成分が全て実数であり、かつもとの行列とその転置行列が一致する、すなわち

\begin{align}
\mathsf{A}=\mathsf{A}^{\text{T}}
\end{align}

が成り立つとき、行列\(\mathsf{A}\)を実対称行列という。
　具体例を挙げると、

\begin{align}
\begin{pmatrix}
2&3\\
3&5
\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}
2&-1&4\\
-1&7&-3\\
4&-3&6
\end{pmatrix}
\end{align}

といったものが実対称行列になる。

　

　また、もとの行列とそのエルミート共役が一致する、すなわち

\begin{align}
\mathsf{A}=\mathsf{A}^{\dagger}
\end{align}

が成り立つとき、行列\(\mathsf{A}\)をエルミート行列という。
　具体例を挙げると、

\begin{align}
\begin{pmatrix}
1&3-7i\\
3+7i&-4
\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}
2&5-6i&9i\\
5+6i&7&1-3i\\
-9i&1+3i&4\end{pmatrix}
\end{align}

といったものがエルミート行列になる。

直交行列とユニタリー行列

\begin{align}
\vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}v_{1,1}\\v_{2,1}\\ \vdots\\v_{d,1}\end{pmatrix},\qquad
\vec{v}_{2}=\begin{pmatrix}v_{1,2}\\v_{2,2}\\ \vdots\\v_{d,2}\end{pmatrix},\qquad
\cdots\qquad
\vec{v}_{d}=\begin{pmatrix}v_{1,d}\\v_{2,d}\\ \vdots\\v_{d,d}\end{pmatrix}
\end{align}

というd個のベクトルを考える。
　これらのベクトルが、互いに直交し(互いの内積が0)、かつ大きさが全て1の単位ベクトル(同じベクトル同士の内積が1)であるとき(正規直交基底であるとき)、これらのベクトルを並べて作る行列

\begin{align}
\mathsf{O}=\begin{pmatrix} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} &\cdots& \vec{v}_{d} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
v_{1,1}&v_{1,2}&\cdots&v_{1,d}\\
v_{2,1}&v_{2,2}&\cdots&v_{2,d}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
v_{d,1}&v_{d,2}&\cdots&v_{d,d}\\
\end{pmatrix}
\end{align}

を直交行列という。

　直交行列には、その転置行列\(\mathsf{O}^{\text{T}}\)との積は単位行列になるという性質がある。
　実際に上の表記で計算しても、

\begin{align}
\mathsf{O}^{\text{T}}\mathsf{O}=
\begin{pmatrix}(\vec{v}_{1})^{\text{T}}\\ (\vec{v}_{2})^{\text{T}}\\ \vdots \\ (\vec{v}_{d})^{\text{T}}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} &\cdots& \vec{v}_{d} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
(\vec{v}_{1})^{\text{T}}\,\vec{v}_{1} & (\vec{v}_{1})^{\text{T}}\,\vec{v}_{2}&\cdots& (\vec{v}_{1})^{\text{T}}\,\vec{v}_{d}\\
(\vec{v}_{2})^{\text{T}}\,\vec{v}_{1} & (\vec{v}_{2})^{\text{T}}\,\vec{v}_{2}&\cdots& (\vec{v}_{2})^{\text{T}}\,\vec{v}_{d}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
(\vec{v}_{d})^{\text{T}}\,\vec{v}_{1} & (\vec{v}_{d})^{\text{T}}\,\vec{v}_{2}&\cdots& (\vec{v}_{d})^{\text{T}}\,\vec{v}_{d}\\
\end{pmatrix}=\mathsf{I}
\end{align}

と、実際に単位行列になることがわかる。
　この性質は、直交行列の転置行列と逆行列が一致する、すなわち

\begin{align}
\mathsf{O}^{\text{T}}=\mathsf{O}^{-1}
\end{align}

と書き換えてもよい。

　

　続いて

\begin{align}
\vec{u}_{1}=\begin{pmatrix}u_{1,1}\\u_{2,1}\\ \vdots\\u_{d,1}\end{pmatrix},\qquad
\vec{u}_{2}=\begin{pmatrix}u_{1,2}\\u_{2,2}\\ \vdots\\u_{d,2}\end{pmatrix},\qquad
\cdots\qquad
\vec{u}_{d}=\begin{pmatrix}u_{1,d}\\u_{2,d}\\ \vdots\\u_{d,d}\end{pmatrix}
\end{align}

というd個の複素ベクトルを考える。
　これらのベクトルが、互いに直交し(互いの内積が0)、かつ大きさが全て1の単位ベクトル(同じベクトル同士の内積が1)であるとき(正規直交基底であるとき)、これらのベクトルを並べて作る行列

\begin{align}
\mathsf{U}=\begin{pmatrix} \vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} &\cdots& \vec{u}_{d} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
u_{1,1}&u_{1,2}&\cdots&u_{1,d}\\
u_{2,1}&u_{2,2}&\cdots&u_{2,d}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
u_{d,1}&u_{d,2}&\cdots&u_{d,d}\\
\end{pmatrix}
\end{align}

をユニタリー行列という。

　ユニタリー行列にも、そのエルミート共役\(\mathsf{U}^{\dagger}\)との積は単位行列になるという性質がある。
　実際に上の表記で計算しても、

\begin{align}
\mathsf{U}^{\dagger}\mathsf{U}=
\begin{pmatrix}(\vec{u}_{1})^{\dagger}\\ (\vec{u}_{2})^{ \dagger }\\ \vdots \\ (\vec{u}_{d})^{ \dagger }\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2} &\cdots& \vec{u}_{d} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
(\vec{u}_{1})^{\dagger}\,\vec{u}_{1} & (\vec{u}_{1})^{\dagger}\,\vec{u}_{2}&\cdots& (\vec{u}_{1})^{\dagger}\,\vec{u}_{d}\\
(\vec{u}_{2})^{\dagger}\,\vec{u}_{1} & (\vec{u}_{2})^{\dagger}\,\vec{u}_{2}&\cdots& (\vec{u}_{2})^{\dagger}\,\vec{u}_{d}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
(\vec{u}_{d})^{\dagger}\,\vec{u}_{1} & (\vec{u}_{d})^{\dagger}\,\vec{u}_{2}&\cdots& (\vec{u}_{d})^{\dagger}\,\vec{u}_{d}\\
\end{pmatrix}=\mathsf{I}
\end{align}

と、実際に単位行列になることがわかる。
　この性質は、ユニタリー行列のエルミート共役と逆行列が一致する、すなわち

\begin{align}
\mathsf{U}^{\dagger}=\mathsf{U}^{-1}
\end{align}

と書き換えてもよい。

　解答

　まずは行列\(\mathsf{A}\)について

\begin{align}
\mathsf{A}=\begin{pmatrix}\vec{a}_{1}&\vec{a}_{2}&\vec{a}_{3}\end{pmatrix}
\end{align}

とすると

\begin{align}
(\vec{a}_{1})^{\text{T}} \vec{a}_{1}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}=1 \\
(\vec{a}_{1})^{\text{T}} \vec{a}_{2}&= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0+ \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+ \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \left(-\sqrt\frac{2}{3}\right)=0 \\
(\vec{a}_{1})^{\text{T}} \vec{a}_{3}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)=0\\
(\vec{a}_{2})^{\text{T}} \vec{a}_{1}&=0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} +\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}=0\\
(\vec{a}_{2})^{\text{T}} \vec{a}_{2}&=0 \cdot0 +\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} +\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) \cdot \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) =1\\
(\vec{a}_{2})^{\text{T}} \vec{a}_{3}&=0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) +\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)=0\\
(\vec{a}_{3})^{\text{T}} \vec{a}_{1}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} +\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}=0 \\
(\vec{a}_{3})^{\text{T}} \vec{a}_{2}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0+ \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} +\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \cdot \left(-\sqrt\frac{2}{3}\right) =0 \\
(\vec{a}_{3})^{\text{T}} \vec{a}_{3}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)=1
\end{align}

となり、\(\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3}\)が正規直交基底であるため行列\(\mathsf{A}\)は直交行列である。よってその転置行列との積\(\mathsf{A}^{\text{T}} \mathsf{A} \)は

\begin{align}
\mathsf{A}^{\text{T}}\mathsf{A}=
\begin{pmatrix}(\vec{a}_{1})^{\text{T}}\\ (\vec{a}_{2})^{\text{T}}\\ (\vec{a}_{3})^{\text{T}}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2}& \vec{a}_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
(\vec{a}_{1})^{\text{T}}\,\vec{a}_{1} & (\vec{a}_{1})^{\text{T}}\,\vec{a}_{2}& (\vec{a}_{1})^{\text{T}}\,\vec{a}_{3}\\
(\vec{a}_{2})^{\text{T}}\,\vec{a}_{1} & (\vec{a}_{2})^{\text{T}}\,\vec{a}_{2}& (\vec{a}_{2})^{\text{T}}\,\vec{a}_{3}\\
(\vec{a}_{3})^{\text{T}}\,\vec{a}_{1} & (\vec{a}_{3})^{\text{T}}\,\vec{a}_{2}& (\vec{a}_{3})^{\text{T}}\,\vec{a}_{3}\\
\end{pmatrix}=\mathsf{I}
\end{align}

となり、単位行列になることがわかる。

　続いて\(\mathsf{B}\)について

\begin{align}
\mathsf{B}=\begin{pmatrix}\vec{b}_{1}&\vec{b}_{2}&\vec{b}_{3}\end{pmatrix}
\end{align}

とすると

\begin{align}
(\vec{b}_{1})^{\dagger} \vec{b}_{1}&=\left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{i}{\sqrt{2}} + 0 \cdot 0+ \frac{i}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)=1 \\
(\vec{b}_{1})^{\dagger} \vec{b}_{2}&= \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{i}{\sqrt{2}}+ \frac{i}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}= 0 \\
(\vec{b}_{1})^{\dagger} \vec{b}_{3}&= \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)+ \frac{i}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}= 0\\
(\vec{b}_{2})^{\dagger} \vec{b}_{1}& =\frac{1}{2}\cdot \frac{i}{\sqrt{2}} + \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right) \cdot 0+ \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right) =0\\
(\vec{b}_{2})^{\dagger} \vec{b}_{2}&= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right) \cdot \frac{i}{\sqrt{2}}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} =1\\
(\vec{b}_{2})^{\dagger} \vec{b}_{3}&= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} =0\\
(\vec{b}_{3})^{\dagger} \vec{b}_{1}&= \frac{1}{2}\cdot \frac{i}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}\cdot 0+ \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right) =0 \\
(\vec{b}_{3})^{\dagger} \vec{b}_{2}&= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} + \frac{i}{\sqrt{2}}\cdot \frac{i}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} =0 \\
(\vec{b}_{3})^{\dagger} \vec{b}_{3}&= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} + \frac{i}{\sqrt{2}}\cdot \left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} =1
\end{align}

となり、\(\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\)が正規直交基底であるため行列\(\mathsf{B}\)はユニタリー行列である。よってそのエルミート共役との積\(\mathsf{B}^{\dagger} \mathsf{B} \)は

\begin{align}
\mathsf{B}^{\dagger}\mathsf{B}=
\begin{pmatrix}(\vec{b}_{1})^{\dagger}\\ (\vec{b}_{2})^{\dagger}\\ (\vec{b}_{3})^{\dagger}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2}& \vec{b}_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
(\vec{b}_{1})^{\dagger}\,\vec{b}_{1} & (\vec{b}_{1})^{\dagger}\,\vec{b}_{2}& (\vec{b}_{1})^{\dagger}\,\vec{b}_{3}\\
(\vec{b}_{2})^{\dagger}\,\vec{b}_{1} & (\vec{b}_{2})^{\dagger}\,\vec{b}_{2}& (\vec{b}_{2})^{\dagger}\,\vec{b}_{3}\\
(\vec{b}_{3})^{\dagger}\,\vec{b}_{1} & (\vec{b}_{3})^{\dagger}\,\vec{b}_{2}& (\vec{b}_{3})^{\dagger}\,\vec{b}_{3}\\
\end{pmatrix}=\mathsf{I}
\end{align}

となり、単位行列になることがわかる。

終わりに

　今回で暗記系記事は終了。

　次回から本格的に行列の重要な性質、そしてその応用を見ていく。

　このあたりの話を知っておくと、種々の複雑な物理系の問題へ応用できる。
　できればその物理への応用まで話ができればと思う。

　

　END

　

　※追記
　行列の重要な性質、固有値、固有ベクトルの話を書いた。