【微積分】ヤコビ行列とヤコビアン①~導入と例題~

微積分

 多変数関数の微積分において、変数変換は最も頻繁に用いられるテクニックと言ってよい。

 変数変換された多変数関数を変換後の変数で微積分する際に活躍するのが、ヤコビ行列とヤコビアンである。

 本記事ではヤコビ行列とヤコビアンを導入し、これらを利用した簡単な例題を紹介する。


導入

 ある\(n\)変数関数\(f(x_{1},x_{2},…,x_{n})\)において、変数を下記のように変換することを考える。

\begin{align}
\begin{cases}
x_{1}=x_{1}(\alpha_{1},\alpha_{2},…,\alpha_{n})\\
x_{2}=x_{2}(\alpha_{1},\alpha_{2},…,\alpha_{n})\\
\qquad\qquad\quad\vdots\\
x_{n}=x_{n}(\alpha_{1},\alpha_{2},…,\alpha_{n})\\
\end{cases} \tag{1}
\end{align}

 このとき、新しい変数での偏微分\(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial \alpha_{i}}\,(i=1,2,…,n)}\)は元の変数での偏微分\(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}\)を用いて下記のように表せられる。

\begin{align}
\left(\frac{\partial f}{\partial \alpha_{1}},\frac{\partial f}{\partial \alpha_{2}},…,\frac{\partial f}{\partial \alpha_{n}}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\frac{\partial f}{\partial x_{2}},…,\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right)
\begin{pmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}}&\displaystyle{\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{n}}}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}}}&\displaystyle{\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{n}}}\\ \\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{1}}}&\displaystyle{\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{2}}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}}
\end{pmatrix}\tag{2}\label{yakobiintro1}
\end{align}

 この(\ref{yakobiintro1})の右辺の行列がヤコビ行列である。

 記号は頭文字のJを使い、

\begin{align}
\mathcal{J}(x_{1},x_{2},…,x_{n}|\alpha_{1},\alpha_{2},…,\alpha_{n})=
\begin{pmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}}&\displaystyle{\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{n}}}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}}}&\displaystyle{\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{n}}}\\ \\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{1}}}&\displaystyle{\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{2}}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}}
\end{pmatrix}\tag{3}\label{yakobiintro2}
\end{align}

と書く。

 ヤコビ行列の成分が1つのみの場合は一変数関数の微分に相当し\(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial \alpha_{1}}=\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}\frac{\partial f}{\partial x_{1}}}\)となる。

 これは連鎖律の公式(合成関数の微分)に他ならず、ゆえに(\ref{yakobiintro1})は連鎖律の拡張版と言える。

 

 そしてこのヤコビ行列の行列式がヤコビアンであり

\begin{align}
\frac{\partial (x_{1},x_{2},…,x_{n})}{\partial (\alpha_{1},\alpha_{2},…,\alpha_{n})}=\text{det}\mathcal{J}(x_{1},x_{2},…,x_{n}|\alpha_{1},\alpha_{2},…,\alpha_{n})=\begin{vmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}}&\displaystyle{\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{n}}}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}}}&\displaystyle{\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{n}}}\\ \\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{1}}}&\displaystyle{\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{2}}}&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}}
\end{vmatrix}\tag{4}\label{yakobiintro3}
\end{align}

と書く。

例題

 ここでヤコビ行列を使って二変数関数を微分する問題を解いてみる。

問題

 二変数関数\(f(x,y)=(x+y)^{2}\cos(x-y)\)において、変数を下記式で定義される\((s,t)\)に変換する。

\begin{align}
\begin{cases}
s=x+y \\
t=x-y
\end{cases}\tag{5}\label{yakobirei1}
\end{align}

 このとき、新しい変数での偏微分\(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial s},\frac{\partial f}{\partial t}}\)を下記の2通りの方法で求め、両者が一致することを確認せよ。

 (i) ヤコビ行列

\begin{align}
\mathcal{J}(x,y|s,t)=
\begin{pmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial s}}&\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial t}}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial s}}&\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial t}}
\end{pmatrix}\tag{6}\label{yakobirei2}
\end{align}

を用いて連鎖律から求める方法。

 (ii) (\ref{yakobirei1})を\(f(x,y)\)に代入し、直接偏微分する方法。

解説

 まず(i)の方法で偏微分を求める。

 (\ref{yakobirei1})より

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{x=\frac{s+t}{2}} \\ \\
\displaystyle{y=\frac{s-t}{2}}
\end{cases}\tag{7}\label{yakobirei3}
\end{align}

となるため、ヤコビ行列(\ref{yakobirei2})は

\begin{align}
\mathcal{J}(x,y|s,t)=
\begin{pmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial s}}&\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial t}}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial s}}&\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial t}}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}\\ \\
\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{-\frac{1}{2}}
\end{pmatrix}=
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1
\end{pmatrix}\tag{8}\label{yakobirei4}
\end{align}

となる。また、\(f(x,y)\)を\(x,y\)で偏微分すると

\begin{align}
&\frac{\partial f}{\partial x}=2(x+y)\cos(x-y)-(x+y)^{2}\sin(x-y) \tag{9}\label{yakobirei5}\\
&\frac{\partial f}{\partial y}=2(x+y)\cos(x-y)+(x+y)^{2}\sin(x-y) \tag{10}\label{yakobirei6}
\end{align}

となる。

 よって連鎖律の公式(\ref{yakobiintro1})、(\ref{yakobirei4})~(\ref{yakobirei6})より

\begin{gather}
\left(\frac{\partial f}{\partial s},\frac{\partial f}{\partial t}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)\begin{pmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial s}}&\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial t}}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial s}}&\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial t}}
\end{pmatrix}=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} \notag \\ \\
\downarrow \notag \\ \\
\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial s}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\right)=2(x+y)\cos(x-y)}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\right)=-(x+y)^{2}\sin(x-y)}
\end{cases}\tag{11}\label{yakobirei7}
\end{gather}

となる。

 

 続いて(ii)の方法で偏微分を求める。

 (\ref{yakobirei1})を\(f(x,y)\)に代入すると\(f(s,t)=s^{2}\cos t\)となるため、

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial s}=2s\cos t=2(x+y)\cos(x-y)}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial t}=-s^{2}\sin t=-(x+y)^{2}\sin(x-y)}
\end{cases} \tag{12}\label{yakobirei8}
\end{align}

となる。

 (\ref{yakobirei7})、(\ref{yakobirei8})より(i)、(ii)のいずれの方法でも同じ結果が得られることが確認できた。

 

 ここで導入編を一旦区切ることにする。

 次回は使用頻度が高い応用として、直交座標系から極座標系、円筒座標系に変数変換する際のヤコビ行列とヤコビアンを見ていく。

 続きはこちら。


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