行列 【行列】特異値分解～概要と例題～
本記事では、「行列の特異値分解」を扱う。 簡単に言うと特異値分解とは、正方行列の対角化を一般の行列に拡張したものと考えてよい。 正方行列の対角化は下記を参照。 厳密な議論は教科書に任せて、本記事では特異値分解の計算に必要な事項を中心にまと...
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行列 
フーリエ解析 【フーリエ解析】フーリエ級数～問題演習～
大学時代のノートを見返していたところ、フーリエ級数の応用問題を見つけたので解き直してみた。問題 以下の各問に答えよ。ただし全問題において\(m,n\)は正の整数とする。(1) \(\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi...
行列 【行列】ロドリゲスの回転公式～3次元座標における任意の軸まわりの回転～
行列を用いた代表的な応用として回転が挙げられる。 高校数学でも、x-y平面上の点の原点まわりの回転移動が\begin{align}\begin{pmatrix}x_{2}\\ y_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatri...
関数 【関数】ゼータ関数・ガンマ関数
前回、物理数学で頻繁に登場するガウス関数とガウス積分を扱った。 今回はまた毛色が異なる関数であるゼータ関数とガンマ関数を見ていく。概要 \(n>1\)について、\begin{align}\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty...
関数 【関数】ガウス関数とガウス積分
大学の数学ではいくつかの特殊な関数を扱う。 今回はそういった中から、有名どころのガウス関数とその積分のガウス積分を見ていく。概要 \(N>0\)と\(\alpha>0\)を任意定数として\begin{align}f(x)=N\,e^{-\a...
ベクトル解析 【ベクトル解析】ガウスの定理～概要と例題～
前回にて、ベクトル解析において重要な定理であるストークスの定理を扱った。 今回も、ベクトル解析にて登場する重要な積分定理の1つであるガウスの定理を見ていく。概要 ある閉曲面\(S\)があり、\(S\)に囲まれた有限の領域を\(V\)とする。...
ベクトル解析 【ベクトル解析】ストークスの定理～概要と例題～
下記2記事にて、線積分と面積分を扱った。 今回はその応用として、線積分と面積分の関係を表した定理であるストークスの定理を扱う。概要 ある閉じた経路\(C\)があり、\(C\)を縁とする面を\(S\)とする。 このとき、あるベクトル場\(\v...
ベクトル解析 【ベクトル解析】面積分～概要と例題(平面、球面、円筒面上での面積分)～
前回にて線積分の概要と例題を取り扱った。 今回はその続きで、面積分の概要を眺め、問題の解き方を解説していく。概要 面積分も線積分と同様にベクトル場に対して実行する積分である。 線積分との違いは「面」と書かれている通り、ある座標系に存在する面...
ベクトル解析 【ベクトル解析】線積分～概要と例題(直線、円に沿った線積分)～
物理をする上で必須となる数学の内の1つが「ベクトル解析」だ。 座標の各点に量と向き(要はベクトル)を与える「ベクトル場」なるものが登場し、主にその微分と積分を扱う単元になる。 ベクトルの微分がいわゆるグラディエント(\(\text{grad...
微積分 【微積分】二変数関数の停留点(極大点・極小点・鞍点)②～問題演習～
下記記事にて、二変数関数の停留点の求め方を解説した。 今回は付録的な記事になるが、上の記事で扱った例題の類題を解いていく。問題演習問題 次の二変数関数\(f(x,y)\)の停留点\((a_{x},a_{y})\)をすべて求め、さらに求めた停...