【解析力学】2質点の鉛直ばね振り子②

　前回

の続き。

解答(2)

　\(\vec{x}(t) =(x_{\text{a}}(t), x_{\text{b}}(t) ) ^{\text{T}} \)と置くと(1)で求めた運動方程式は

\begin{align}
m\frac{d^{2}}{dt^{2}}\vec{x}(t)=-k\begin{pmatrix}5 & -2 \\ -2 & 2\end{pmatrix}\vec{x}(t)+mg\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=-k\,\mathsf{A}\,\vec{x}(t) +mg\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \tag{2-1}\label{matateigi}
\end{align}

と書き直せる。

　この行列\(\mathsf{A}\)を対角化する。
　\(\mathsf{A}\)の固有値を\(\lambda\)、単位行列を\(\mathsf{I}\)とすると、特性方程式より

\begin{gather}
\text{det}[\mathsf{A}-\lambda\mathsf{I}]=0 \\
\text{det}\left[\begin{pmatrix}5-\lambda & -2 \\ -2 &2-\lambda\end{pmatrix}\right]=0 \\
(5-\lambda)(2-\lambda)-4=0 \\
\lambda^{2}-7\lambda+6=0 \\
(\lambda-1)(\lambda-6)=0&\therefore \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=6 \tag{2-2}\label{lambda}
\end{gather}

となる。

　さらに\(\mathsf{A}\)の固有ベクトルを\(\vec{q}_{1}=(a,b)^{\text{T}}, \vec{q}_{2}=(c,d)^{\text{T}}\)とし、それぞれ\(\mathsf{A}\,\vec{q}_{1}=\lambda_{1}\vec{q}_{1},\,\mathsf{A}\,\vec{q}_{2}=\lambda_{2}\vec{q}_{2}\)を満たすとする。

　さらに\(\mathsf{A}\)は実対称行列であるため、固有ベクトルは正規直交基底をなすようにることができ、

\begin{align*}
&\begin{pmatrix}5 & -2 \\ -2 &2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}5a-2b=a \\ -2a+2b=b\end{cases} &&\therefore \vec{q}_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 \\2\end{pmatrix} \tag{2-3}\label{q1}\\
&\begin{pmatrix}5 & -2 \\ -2 &2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c \\ d\end{pmatrix}=6\begin{pmatrix}c \\ d\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}5c-2d=6c \\ -2c+2d=6d\end{cases} &&\therefore \vec{q}_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-2 \\1\end{pmatrix} \tag{2-4}\label{q2}
\end{align*}

と求められる。

　ここで行列\(\mathsf{O}\)を次式で定義する。

\begin{align}
\mathsf{O}=(\vec{q}_{1}\quad\vec{q}_{2})=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & -2\\2 &1\end{pmatrix} \tag{2-5}\label{gyouretuo}
\end{align}

　\(\mathsf{O}\)は直交行列であるため、その逆行列\(\mathsf{O}^{-1}\)は転置行列\(\mathsf{O}^{\text{T}}\)に等しい。

\begin{align}
\mathsf{O}^{-1}=\mathsf{O}^{\text{T}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix} \tag{2-6}\label{ogyaku}
\end{align}

　このとき、

\begin{align}
\mathsf{O}^{\text{T}}\mathsf{AO}=\begin{pmatrix}1&0\\0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}\end{pmatrix}=\Lambda \tag{2-7}\label{lambdagyo}
\end{align}

が成り立ち、

\begin{align}
\mathsf{A}=\mathsf{O}\Lambda\mathsf{O}^{\text{T}} \tag{2-8}\label{ataikaku}
\end{align}

となる。
　これで\(\mathsf{A}\)を対角化することができた。

解答(3)

　ここで、\(\vec{y}(t)=\mathsf{O}^{\text{T}}\vec{x}(t)\)を満たすベクトル\(\vec{y}(t) =(y_{\text{a}}(t), y_{\text{b}}(t) ) ^{\text{T}}\)を導入する。 このとき、

\begin{align}
\frac{d^{2}}{dt^{2}}\vec{y}(t)&=\frac{d^{2}}{dt^{2}}\mathsf{O}^{\text{T}}\vec{x}(t)=\mathsf{O}^{\text{T}}\frac{d^{2}}{dt^{2}}\vec{x}(t)\\
&=\mathsf{O}^{\text{T}}\left\{-\frac{k}{m}\,\mathsf{A}\,\vec{x}(t)+g\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right\}\\
&=-\frac{k}{m}\, \mathsf{O}^{\text{T}}\mathsf{A}\,\vec{x}(t)+ \mathsf{O}^{\text{T}} g\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \\
&=-\frac{k}{m}\, \mathsf{O}^{\text{T}}\mathsf{O}\Lambda\mathsf{O}^{\text{T}}\,\vec{x}(t) + g\mathsf{O}^{\text{T}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \\
&=-\frac{k}{m}\,\Lambda\mathsf{O}^{\text{T}}\,\vec{x}(t)+g \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \\
&=-\frac{k}{m}\,\Lambda\,\vec{y}(t)+\frac{g}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}
\end{align}

すなわち

\begin{gather}
\frac{d^{2}}{dt^{2}}\vec{y}(t)=-\frac{k}{m}\begin{pmatrix}1&0\\0&6\end{pmatrix}\vec{y}(t)+\frac{g}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\\
\Downarrow\\
\begin{cases} \displaystyle{\frac{d^{2}}{dt^{2}}y_{\text{a}}(t)=-\frac{k}{m}y_{\text{a}}(t) +\frac{3}{\sqrt{5}}g } \\ \displaystyle{\frac{d^{2}}{dt^{2}}y_{\text{b}}(t)=-\frac{6k}{m}y_{\text{b}}(t)-\frac{1}{\sqrt{5}}g } \end{cases} \tag{3-1}\label{ybibun}
\end{gather}

が成立する。
　これらの微分方程式は、質点1個の鉛直ばね振り子の運動方程式と同じ形である。

　この2つの微分方程式(\ref{ybibun})をそれぞれ解くと、一般解は

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{y_{\text{a}}(t)=C_{\text{a}}\cos(\omega t+\phi_{\text{a}})+\frac{3}{\sqrt{5}}\frac{mg}{k}}\\
\displaystyle{y_{\text{b}}(t)=C_{\text{b}}\cos\left(\sqrt{6}\,\omega t+\phi_{\text{b}}\right)-\frac{1}{6\sqrt{5}} \frac{mg}{k} }
\end{cases} \tag{3-2}\label{yippan}
\end{align}

となる。ただし\(\omega=\sqrt{k/m}\)、\(C_{\text{a}}, C_{\text{b}} , \phi_{\text{a}} , \phi_{\text{b}}\)は任意定数である。

　もともと\(\vec{y}(t)=\mathsf{O}^{\text{T}}\vec{x}(t)\)と定義していたため、

\begin{align}
\vec{x}(t)=\mathsf{O}\,\vec{y}(t)= \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & -2\\2 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \displaystyle{C_{\text{a}}\cos(\omega t+\phi_{\text{a}})+\frac{3}{\sqrt{5}}\frac{mg}{k}} \\ \displaystyle{C_{\text{b}}\cos\left(\sqrt{6}\,\omega t+\phi_{\text{b}}\right)-\frac{1}{6\sqrt{5}} \frac{mg}{k} } \end{pmatrix}
\end{align}

すなわち

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{x_{\text{a}}(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{C_{\text{a}}\cos(\omega t+\phi_{\text{a}})-2 C_{\text{b}}\cos\left(\sqrt{6}\,\omega t+\phi_{\text{b}}\right) \right\}+\frac{2}{3}\frac{mg}{k}}\\
\displaystyle{x_{\text{b}}(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{2C_{\text{a}}\cos(\omega t+\phi_{\text{a}})+ C_{\text{b}}\cos\left(\sqrt{6}\,\omega t+\phi_{\text{b}}\right) \right\}+\frac{7}{6}\frac{mg}{k}}
\end{cases}\tag{3-3}\label{aippan}
\end{align}

と求められる。

　

　下記に続く。