【解析力学】2質点の鉛直ばね振り子③

解析力学

 前回

の続き。


解答(4)

 (3)より、\(x_{\text{a}}(t), x_{\text{b}}(t)\)の一般解は

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{x_{\text{a}}(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{C_{\text{a}}\cos(\omega t+\phi_{\text{a}})-2 C_{\text{b}}\cos\left(\sqrt{6}\,\omega t+\phi_{\text{b}}\right) \right\}+\frac{2}{3}\frac{mg}{k}}\\
\displaystyle{x_{\text{b}}(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{2C_{\text{a}}\cos(\omega t+\phi_{\text{a}})+ C_{\text{b}}\cos\left(\sqrt{6}\,\omega t+\phi_{\text{b}}\right) \right\}+\frac{7}{6}\frac{mg}{k}}
\end{cases}\tag{4-1}\label{aippan}
\end{align}

である。ただし、\(\omega=\sqrt{k/m}\)、\(C_{\text{a}}, C_{\text{b}} , \phi_{\text{a}} , \phi_{\text{b}}\)は任意定数である。

 (\ref{aippan})に問題文の初期条件を代入し、各任意定数を決定していく。

 (i)のとき、

\begin{align}
&x_{\text{a}}(0)=\frac{1}{\sqrt{5}}(C_{\text{a}}\cos\phi_{\text{a}}-2 C_{\text{b}}\cos\phi_{\text{b}})+\frac{2}{3}\frac{mg}{k}= \frac{2}{3}\frac{mg}{k} +L \\
&\left.\frac{dx_{\text{a}}(t)}{dt}\right|_{t=0}=-\frac{\omega}{\sqrt{5}}(C_{\text{a}}\sin\phi_{\text{a}}-2\sqrt{6}\, C_{\text{b}}\sin\phi_{\text{b}})=0 \\
&x_{\text{b}}(0)=\frac{1}{\sqrt{5}}(2C_{\text{a}}\cos\phi_{\text{a}}+ C_{\text{b}}\cos\phi_{\text{b}} )+\frac{7}{6}\frac{mg}{k}= \frac{7}{6}\frac{mg}{k} +L \\
&\left.\frac{dx_{\text{b}}(t)}{dt}\right|_{t=0}=-\frac{\omega}{\sqrt{5}}(2C_{\text{a}}\sin\phi_{\text{a}}+\sqrt{6}\,C_{\text{b}}\sin\phi_{\text{b}} )=0
\end{align}

すなわち

\begin{align}
& C_{\text{a}}\cos\phi_{\text{a}}-2 C_{\text{b}}\cos\phi_{\text{b}}=\sqrt{5}\,L \tag{4-2}\label{ixa0}\\
& C_{\text{a}}\sin\phi_{\text{a}}-2\sqrt{6}\, C_{\text{b}}\sin\phi_{\text{b}} =0 \tag{4-3}\label{iva0}\\
& 2C_{\text{a}}\cos\phi_{\text{a}}+ C_{\text{b}}\cos\phi_{\text{b}}=\sqrt{5}\,L \tag{4-4}\label{ixb0}\\
& 2C_{\text{a}}\sin\phi_{\text{a}}+\sqrt{6}\,C_{\text{b}}\sin\phi_{\text{b}}=0 \tag{4-5}\label{ivb0}
\end{align}

 これら(\ref{ixa0})~(\ref{ivb0})を\(C_{\text{a}}, C_{\text{b}} ,\phi_{\text{a}} , \phi_{\text{b}}\)の連立方程式として解くと、\(C_{\text{a}}=3L/\sqrt{5},\)\(\,C_{\text{b}}=-L/\sqrt{5},\,\phi_{\text{a}}= \phi_{\text{b}} =0\)となる。

 よってこれらを(\ref{aippan})に代入すると、

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{x_{\text{a}}(t)=\frac{L}{5}\left\{3\cos(\omega t)+2\cos\left(\sqrt{6}\,\omega t\right) \right\}+\frac{2}{3}\frac{mg}{k}}\\
\displaystyle{x_{\text{b}}(t)=\frac{L}{5}\left\{6\cos(\omega t)-\cos\left(\sqrt{6}\,\omega t\right) \right\}+\frac{7}{6}\frac{mg}{k}}
\end{cases}\tag{4-6}\label{ixab}
\end{align}

となる。

 続いて(ii)のとき

\begin{align}
&x_{\text{a}}(0)=\frac{1}{\sqrt{5}}(C_{\text{a}}\cos\phi_{\text{a}}-2 C_{\text{b}}\cos\phi_{\text{b}})+\frac{2}{3}\frac{mg}{k}= \frac{2}{3}\frac{mg}{k} \\
&\left.\frac{dx_{\text{a}}(t)}{dt}\right|_{t=0}=-\frac{\omega}{\sqrt{5}}(C_{\text{a}}\sin\phi_{\text{a}}-2\sqrt{6}\, C_{\text{b}}\sin\phi_{\text{b}})=V \\
&x_{\text{b}}(0)=\frac{1}{\sqrt{5}}(2C_{\text{a}}\cos\phi_{\text{a}}+ C_{\text{b}}\cos\phi_{\text{b}} )+\frac{7}{6}\frac{mg}{k}= \frac{7}{6}\frac{mg}{k} \\
&\left.\frac{dx_{\text{b}}(t)}{dt}\right|_{t=0}=-\frac{\omega}{\sqrt{5}}(2C_{\text{a}}\sin\phi_{\text{a}}+\sqrt{6}\,C_{\text{b}}\sin\phi_{\text{b}} )=0
\end{align}

すなわち

\begin{align}
& C_{\text{a}}\cos\phi_{\text{a}}-2 C_{\text{b}}\cos\phi_{\text{b}}=0 \tag{4-7}\label{iixa0}\\
& C_{\text{a}}\sin\phi_{\text{a}}-2\sqrt{6}\, C_{\text{b}}\sin\phi_{\text{b}} =-\frac{\sqrt{5}\,V}{\omega} \tag{4-8}\label{iiva0}\\
& 2C_{\text{a}}\cos\phi_{\text{a}}+ C_{\text{b}}\cos\phi_{\text{b}}=0 \tag{4-9}\label{iixb0}\\
& 2C_{\text{a}}\sin\phi_{\text{a}}+\sqrt{6}\,C_{\text{b}}\sin\phi_{\text{b}}=0 \tag{4-10}\label{iivb0}
\end{align}

 これら(\ref{iixa0})~(\ref{iivb0})を\(C_{\text{a}}, C_{\text{b}} ,\phi_{\text{a}} , \phi_{\text{b}}\)の連立方程式として解くと、\(C_{\text{a}}=V/\sqrt{5}\,\omega,\)\(\,C_{\text{b}}=-2V/\sqrt{30}\,\omega,\,\phi_{\text{a}}= \phi_{\text{b}} =-\pi/2\)となる。

 よってこれらを(\ref{aippan})に代入すると、

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{x_{\text{a}}(t)=\frac{V}{5\,\omega}\left\{\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{4}{\sqrt{6}}\cos\left(\sqrt{6}\,\omega t-\frac{\pi}{2}\right) \right\}+\frac{2}{3}\frac{mg}{k}}\\
\displaystyle{x_{\text{b}}(t)=\frac{2V}{5\omega}\left\{\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)-\frac{1}{\sqrt{6}}\cos\left(\sqrt{6}\,\omega t-\frac{\pi}{2}\right) \right\}+\frac{7}{6}\frac{mg}{k}}
\end{cases}\tag{4-11}\label{iixab}
\end{align}

となる。

 以上をまとめると

(i) \(\displaystyle{x_{ \text{a}}(0)=\frac{2}{3}\frac{mg}{k}+L,\,\, x_{ \text{b}}(0)=\frac{7}{6}\frac{mg}{k}}+L,\,\,\)\(\displaystyle{\left.\frac{dx_{\text{a}}(t)}{dt}\right|_{t=0}= \left.\frac{dx_{\text{b}}(t)}{dt}\right|_{t=0}= 0}\) のとき

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{x_{\text{a}}(t)=\frac{L}{5}\left\{3\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\, t\right)+2\cos\left( \sqrt{\frac{6k}{m}}\, t\right) \right\}+\frac{2}{3}\frac{mg}{k}}\\
\displaystyle{x_{\text{b}}(t)=\frac{L}{5}\left\{6\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\, t\right)-\cos\left( \sqrt{\frac{6k}{m}}\, t\right) \right\}+\frac{7}{6}\frac{mg}{k}}
\end{cases}
\end{align}

(ii) \( \displaystyle{x_{ \text{a}}(0)=\frac{2}{3}\frac{mg}{k},\,\, x_{ \text{b}}(0)=\frac{7}{6}\frac{mg}{k}},\, \,\,\displaystyle{\left.\frac{dx_{\text{a}}(t)}{dt}\right|_{t=0}}=V>0,\,\,\displaystyle{\left.\frac{dx_{\text{b}}(t)}{dt}\right|_{t=0}=0}\) のとき

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{x_{\text{a}}(t)=\frac{V}{5\,\omega}\left\{\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\, t\right)+\frac{4}{\sqrt{6}}\sin\left( \sqrt{\frac{6k}{m}}\, t\right) \right\}+\frac{2}{3}\frac{mg}{k}}\\
\displaystyle{x_{\text{b}}(t)=\frac{2V}{5\omega}\left\{\sin\left( \sqrt{\frac{k}{m}}\, t\right)-\frac{1}{\sqrt{6}}\sin\left( \sqrt{\frac{6k}{m}}\, t\right) \right\}+\frac{7}{6}\frac{mg}{k}}
\end{cases}
\end{align}

となる。

 

 (i)は、2つの球をつり合いの位置から同じ長さ\(L\)だけ移動させて、初速度0で運動させることに相当する。

 (ii)は、つり合いの位置から球aにのみ下向きの速度を与えて運動させることに相当する。

補足:つり合いの位置の求め方(読み飛ばしてもよい。)

 球a,bそれぞれの運動方程式は

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{ m\frac{d^{2}x_{\text{a}}(t)}{dt^{2}}=-3kx_{\text{a}} (t) -2k\{x_{\text{a}} (t) -x_{\text{b}} (t) \} +mg } \\
\displaystyle{ m\frac{d^{2}x_{\text{b}} (t) }{dt^{2}}=2k\{x_{\text{a}} (t) -x_{\text{b}} (t) \}+mg}
\end{cases}
\end{align}

で与えられる。

 球aが自然長の位置から\(\ell_{1}\)、球bが自然長の位置から\(\ell_{2}\)だけ下向きに移動したところでつり合ったとすると、上記運動方程式より

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{0=-3k\ell_{1} -2k(\ell_{1}-\ell_{2})+mg } \\
\displaystyle{0=2k(\ell_{1}-\ell_{2})+mg}
\end{cases}
\end{align}

となる(力のつり合いの式)。これを解けば、

\begin{align}
\ell_{1}=\frac{2}{3}\frac{mg}{k},\quad \ell_{2}=\frac{7}{6}\frac{mg}{k}
\end{align}

となる。

終わりに

 オイラー・ラグランジュ方程式⇒行列⇒微分方程式の流れで問題を解くパターンをいくつか見てきたが、力学はこの辺で一区切りつけようと思う。

 次に物理をやるとしたら電磁気学だろうか。

 だが、その前に物理の問題を解く中で既知のものとして扱っていた数学(行列の対角化や微分方程式の解法)などの解説記事を書こうと思う。

 

 END


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