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【解析力学】3質点の連成振動~オイラー・ラグランジュ方程式の利用例~①

解析力学

 前回

にてオイラー・ラグランジュ方程式を導入したが、今回はその応用例を見ていく。

 以前扱った2質点の連成振動を3質点に拡張してみよう。

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問題

 下図のように、質量mの3つの球が自然長の4つのばねにつながれ、両端のばねが壁に取り付けられている。
 それぞれ自然長の位置を基準に、図の左側の球の変位をxa、中央の球の変位をxb、右側の変位をxcとする。
 3つの球は質点とし、4つのばねのばね定数はすべてk>0とする。
 また、重力、空気抵抗、床との摩擦は考慮しなくてよい。

 (1) 各球に関する運動方程式を立てよ。

 (2) x(t)=(xa(t),xb(t),xc(t))Tと置き、(1)で求めた3つの運動方程式を

md2dt2x(t)=kAx(t)

の形にまとめ、行列Aを対角化せよ。

 (3) xa(t),xb(t),xc(t)の一般解を求めよ。

 (4) 初期条件が下記のとき、3つの球の変位の時間変化xa(t),xb(t),xc(t)をそれぞれ求めよ。
 (i) xa(0)=L<0,xb(0)=0,xc(0)=L>0,
   dxa(t)dt|t=0=dxb(t)dt|t=0=dxc(t)dt|t=0=0
 (ii) xa(0)=xb(0)=xc(0)=0,dxa(t)dt|t=0=V>0,dxb(t)dt|t=0=dxc(t)dt|t=0=0

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解答(1)

 3つの球の運動方程式をオイラー・ラグランジュ方程式を使って導く。

 系の全運動エネルギーTは、球a,b,cそれぞれの速度をva,vb,vcとして

T=12mv2a+12mv2b+12mv2c=12m(v2a+v2b+v2c)

となる。
 続いて、系の全ポテンシャルエネルギーUは、4つのばねの弾性エネルギーの総和であるため、

U=12kx2a+12k(xaxb)2+12k(xbxc)2+12kx2c

となる。
 (1-1)と(1-2)より、この系のラグランジアンL=TU

L=12m(v2a+v2b+v2c)12kx2a12k(xaxb)212k(xbxc)212kx2c

となる。

 このラグランジアンLの速度及び変位の偏微分を予め求めておくと下記のようになる。

Lva=mvaLvb=mvbLvc=mvcLxa=kxak(xaxb)Lxb=k(xaxb)k(xbxc)Lxc=k(xbxc)kxc

 よって球a,b,cそれぞれに関するオイラー・ラグランジュ方程式から、それぞれの運動方程式は

ddt(Lva)Lxa=0ddtmva{kxak(xaxb)}=0md2xadt2=kxak(xaxb)

ddt(Lvb)Lxb=0ddtmvb{k(xaxb)k(xbxc)}=0md2xbdt2=k(xaxb)k(xbxc)

ddt(Lvc)Lxc=0ddtmvc{k(xbxc)kxc}=0md2xcdt2=k(xbxc)kxc

と求められる。
 以上、(1-10)~(1-12)をまとめると、

{md2xa(t)dt2=kxa(t)k{xa(t)xb(t)}md2xb(t)dt2=k{xa(t)xb(t)}k{xb(t)xc(t)}md2xc(t)dt2=k{xb(t)xc(t)}kxc(t)

となる。

 

 ②に続く。

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