前回
にて鉛直ばね振り子を扱ったが、今回は鉛直ばね振り子を2つ連結させた場合を考えてみる。
問題
2つの球の質量はいずれも\(m\)であり、球は質点とみなせる。
また\(k>0\)として上側ばねのばね定数は\(3k\)、下側のばねのばね定数は\(2k\)とする。
上側の球aの変位を\(x_{\text{a}}\)、下側の球bの変位を\(x_{\text{b}}\)とし、それぞれのばねが自然長のときの球の位置を基準とする。
また、鉛直下向きを正とし、重力加速度を\(g\)とする。
(1) 各球に関する運動方程式を求めよ。
(2) \(\vec{x}(t) =(x_{\text{a}}(t), x_{\text{b}}(t) ) ^{\text{T}} \)と置き、(1)で求めた2つの運動方程式を
\begin{align}
m\frac{d^{2}}{dt^{2}}\vec{x}(t)=-k\,\mathsf{A}\,\vec{x}(t)+mg\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \tag{Q1}\label{Aundou}
\end{align}の形にまとめ、行列\(\mathsf{A}\)を対角化せよ。
(3) \( x_{\text{a}}(t), x_{\text{b}}(t)\)の一般解を求めよ。
(4) 初期条件が下記のとき、2つの球の変位の時間変化\(x_{ \text{a} }(t), x_{ \text{b} }(t) \)をそれぞれ求めよ。
(i) \(\displaystyle{x_{ \text{a}}(0)=\frac{2}{3}\frac{mg}{k}+L>0,\quad x_{ \text{b}}(0)=\frac{7}{6}\frac{mg}{k}}+L>0 ,\quad\displaystyle{\left.\frac{dx_{\text{a}}(t)}{dt}\right|_{t=0}= \left.\frac{dx_{\text{b}}(t)}{dt}\right|_{t=0}= 0}\)
(ii) \( \displaystyle{x_{ \text{a}}(0)=\frac{2}{3}\frac{mg}{k},\quad x_{ \text{b}}(0)=\frac{7}{6}\frac{mg}{k}},\, \quad\displaystyle{\left.\frac{dx_{\text{a}}(t)}{dt}\right|_{t=0}}=V>0,\quad\displaystyle{\left.\frac{dx_{\text{b}}(t)}{dt}\right|_{t=0}=0}\)
解答(1)
オイラー・ラグランジュ方程式から運動方程式を求める。
まず、系の全運動エネルギー\(T\)は、球aと球bの速度をそれぞれ\(v_{\text{a}},v_{\text{b}}\)として
\begin{align}
T=\frac{1}{2}mv_{\text{a}}^{2}+\frac{1}{2}mv_{\text{b}}^{2} \tag{1-1}\label{expt}
\end{align}
となる。
続いて系の全ポテンシャルエネルギーは\(U\)は、2つのばねの弾性エネルギーと各球の位置エネルギーを考えればよいため、
\begin{align}
U=\frac{1}{2}(3k)x_{\text{a}}^{2}+ \frac{1}{2}(2k)(x_{\text{a}}- x_{\text{b}})^{2}-mgx_{\text{a}}-mgx_{\text{b}} \tag{1-2}\label{expu}
\end{align}
と書ける。
以上より、ラグランジアン\(L\)は(\ref{expt})、(\ref{expu})より
\begin{align}
L=\frac{1}{2}mv_{\text{a}}^{2}+\frac{1}{2}mv_{\text{b}}^{2}-\frac{1}{2}(3k)x_{\text{a}}^{2}-\frac{1}{2}(2k)(x_{\text{a}} – x_{\text{b}})^{2}+mgx_{\text{a}}+mgx_{\text{b}} \tag{1-3}\label{expl}
\end{align}
となる。
このラグランジアン\(L\)の速度及び変位の偏微分を予め求めておくと下記のようになる。
\begin{align}
&\frac{\partial L}{\partial v_{\text{a}}}=mv_{\text{a}} \tag{1-4}\label{vahenbi}\\
&\frac{\partial L}{\partial v_{\text{b}}}=mv_{\text{b}} \tag{1-5}\label{vbhenbi}\\
&\frac{\partial L}{\partial x_{\text{a}}}=-3kx_{\text{a}}-2k(x_{\text{a}}-x_{\text{b}})+mg \tag{1-6}\label{xahenbi}\\
&\frac{\partial L}{\partial x_{\text{b}}}=2k(x_{\text{a}}-x_{\text{b}})+mg\tag{1-7}\label{xbhenbi}\\
\end{align}
よって球a,bそれぞれに関するオイラー・ラグランジュ方程式から、それぞれの運動方程式は
\begin{gather}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{\text{a}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_{\text{a}}}=0 \\
\frac{d}{dt} mv_{\text{a}}-\left\{ -3kx_{\text{a}}-2k(x_{\text{a}}-x_{\text{b}}) +mg \right\}=0 \\
m\frac{d^{2}x_{\text{a}}}{dt^{2}}=-3kx_{\text{a}}-2k(x_{\text{a}}-x_{\text{b}}) +mg \tag{1-8}\label{undoa}
\end{gather}
\begin{gather}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{\text{b}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_{\text{b}}}=0 \\
\frac{d}{dt} mv_{\text{b}}-\left\{ 2k(x_{\text{a}}-x_{\text{b}})+mg \right\}=0 \\
m\frac{d^{2}x_{\text{b}}}{dt^{2}}=2k(x_{\text{a}}-x_{\text{b}})+mg \tag{1-9}\label{undob}
\end{gather}
と求められる。
以上、(\ref{undoa})、(\ref{undob})をまとめると、
\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{ m\frac{d^{2}x_{\text{a}}(t)}{dt^{2}}=-3kx_{\text{a}} (t) -2k\{x_{\text{a}} (t) -x_{\text{b}} (t) \} +mg } \\
\displaystyle{ m\frac{d^{2}x_{\text{b}} (t) }{dt^{2}}=2k\{x_{\text{a}} (t) -x_{\text{b}} (t) \}+mg}
\end{cases}\tag{1-10}\label{undoumatome}
\end{align}
となる。
下記に続く。
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