【関数】ガウス関数とガウス積分

関数

 大学の数学ではいくつかの特殊な関数を扱う。

 今回はそういった中から、有名どころのガウス関数とその積分のガウス積分を見ていく。

概要

 \(N>0\)と\(\alpha>0\)を任意定数として

\begin{align}
f(x)=N\,e^{-\alpha x^{2}} \tag{1}\label{ガウス関数一般形}
\end{align}

で表される関数をガウス関数(Gauss関数, Gaussian function)と呼ぶ。
 (ガウシアン関数、ガウシアンとも呼ばれる。)

 ここで、\(N=1\)かつ\(\alpha=1\)としたときのガウス関数の定積分

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi} \tag{2}\label{ガウス積分}
\end{align}

ガウス積分(Gauss積分, Gaussian integral)と呼ばれる。

例題

例題

(a) ガウス積分(\ref{ガウス積分})を証明せよ。

(b) (\ref{ガウス積分})を利用して\(\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx}\)を求めよ。

(c) (b)の結果を利用して\(\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}dx}\)を求めよ。

解説

(a)

\begin{align}
I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx \tag{3}\label{ガウス積分計算前}
\end{align}

として、まず\(I^{2}\)を計算する。

\begin{align}
I^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\right)^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\right)\tag{4}
\end{align}

 ここで、片方の積分の積分変数を\(y\)に変えると、

\begin{align}
I^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy\right)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\int_{-\infty}^{\infty}dy\,e^{-(x^{2}+y^{2})}\tag{5}\label{gausstaju}
\end{align}

となる。

 (\ref{gausstaju})は多重積分であり、極座標変換\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)を行うと、\(0\leq r\leq\infty,0\leq\theta<2\pi,dxdy=rdrd\theta\)より、

\begin{align}
I^{2}=\int_{0}^{\infty}dr\int_{0}^{2\pi}d\theta\,re^{-r^{2}}=2\pi\int_{0}^{\infty}re^{-r^{2}}dr=2\pi\left[-\frac{1}{2}e^{-r^{2}}\right]_{0}^{\infty}=\pi \tag{6}\label{ガウス積分二乗}
\end{align}

となる。

 被積分関数\(e^{-x^{2}}\)が正であるため\(I>0\)である。
 よって(\ref{ガウス積分二乗})から\(I=\sqrt{\pi}\)となる。

 

(b)

\begin{align}
I(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx \tag{7}\label{ガウス積分計算前2}
\end{align}

とする。

 方針としては、\(t=\sqrt{\alpha}\,x\)として置換積分する。

 このとき、\(dt/dx=\sqrt{\alpha}\)より\(dx=dt/\sqrt{\alpha}\)となり、積分範囲は変わらないため

\begin{align}
I(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^{2}}\frac{dt}{\sqrt{\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^{2}}dt=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\tag{8}
\end{align}

となる。

 よって求める積分値は

\begin{align}
\boxed{\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}}} \tag{9}\label{一般ガウス積分}
\end{align}

となる。

 

(c)

 \(\alpha\)を変数とみなして\(I(\alpha)\)を\(\alpha\)で微分すると、(\ref{ガウス積分計算前2})より

\begin{align}
\frac{dI(\alpha)}{d\alpha}&=\frac{d}{d\alpha}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=-\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}dx \tag{10}\label{x2gauss1}
\end{align}

となる。

 よって(\ref{一般ガウス積分})、(\ref{x2gauss1})より

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}dx&=-\frac{dI(\alpha)}{d\alpha}=-\frac{d}{d\alpha}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}=-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}} \tag{11}
\end{align}

となる。

 よって求める積分値は

\begin{align}
\boxed{\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}}}} \tag{12}
\end{align}

となる。

終わりに

 一般の\(\alpha\)に関するガウス積分(\ref{一般ガウス積分})は、暗記しても良いくらい頻出の積分である。

 物理では量子力学でもよく登場するため、性質、計算方法等を含めてしっかり把握しておくと良いだろう。

 

 END

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