【関数】ガウス関数とガウス積分

　大学の数学ではいくつかの特殊な関数を扱う。

　今回はそういった中から、有名どころのガウス関数とその積分のガウス積分を見ていく。

概要

　$N>0$と$\alpha>0$を任意定数として

で表される関数をガウス関数(Gauss関数, Gaussian function)と呼ぶ。
　(ガウシアン関数、ガウシアンとも呼ばれる。)

　ここで、$N=1$かつ$\alpha=1$としたときのガウス関数の定積分

はガウス積分(Gauss積分, Gaussian integral)と呼ばれる。

例題

解説

(a)

$$\begin{align} I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx \tag{3}\label{ガウス積分計算前} \end{align}$$

として、まず$I^{2}$を計算する。

$$\begin{align} I^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\right)^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\right)\tag{4} \end{align}$$

　ここで、片方の積分の積分変数を$y$に変えると、

$$\begin{align} I^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy\right)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\int_{-\infty}^{\infty}dy\,e^{-(x^{2}+y^{2})}\tag{5}\label{gausstaju} \end{align}$$

となる。

　($\ref{gausstaju}$)は多重積分であり、極座標変換$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$を行うと、$0\leq r\leq\infty,0\leq\theta<2\pi,dxdy=rdrd\theta$より、

$$\begin{align} I^{2}=\int_{0}^{\infty}dr\int_{0}^{2\pi}d\theta\,re^{-r^{2}}=2\pi\int_{0}^{\infty}re^{-r^{2}}dr=2\pi\left[-\frac{1}{2}e^{-r^{2}}\right]_{0}^{\infty}=\pi \tag{6}\label{ガウス積分二乗} \end{align}$$

となる。

　被積分関数$e^{-x^{2}}$が正であるため$I>0$である。
　よって($\ref{ガウス積分二乗}$)から$I=\sqrt{\pi}$となる。

　

(b)

$$\begin{align} I(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx \tag{7}\label{ガウス積分計算前2} \end{align}$$

とする。

　方針としては、$t=\sqrt{\alpha}\,x$として置換積分する。

　このとき、$dt/dx=\sqrt{\alpha}$より$dx=dt/\sqrt{\alpha}$となり、積分範囲は変わらないため

$$\begin{align} I(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^{2}}\frac{dt}{\sqrt{\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^{2}}dt=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\tag{8} \end{align}$$

となる。

　よって求める積分値は

$$\begin{align} \boxed{\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}}} \tag{9}\label{一般ガウス積分} \end{align}$$

となる。

　

(c)

　$\alpha$を変数とみなして$I(\alpha)$を$\alpha$で微分すると、($\ref{ガウス積分計算前2}$)より

$$\begin{align} \frac{dI(\alpha)}{d\alpha}&=\frac{d}{d\alpha}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=-\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}dx \tag{10}\label{x2gauss1} \end{align}$$

となる。

　よって($\ref{一般ガウス積分}$)、($\ref{x2gauss1}$)より

$$\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}dx&=-\frac{dI(\alpha)}{d\alpha}=-\frac{d}{d\alpha}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}=-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}} \tag{11} \end{align}$$

となる。

　よって求める積分値は

$$\begin{align} \boxed{\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}}}} \tag{12} \end{align}$$

となる。

終わりに

　一般の$\alpha$に関するガウス積分($\ref{一般ガウス積分}$)は、暗記しても良いくらい頻出の積分である。

　物理では量子力学でもよく登場するため、性質、計算方法等を含めてしっかり把握しておくと良いだろう。

　

　END