マクスウェル方程式も大詰め。
いよいよ最後の砦、アンペール・マクスウェルの法則に入る。
これまでの記事は下記を参照。
ガウスの法則
単磁荷不在の法則
ファラデーの電磁誘導の法則
アンペール・マクスウェルの法則
アンペール・マクスウェルの法則は、電場\(\vec{E}(\vec{r},t)\)、磁束密度\(\vec{B}(\vec{r},t)\)、電流密度\(\vec{j}(\vec{r})\)に関して下記のように成り立つ法則である。
\begin{align}
\nabla\times\vec{B}(\vec{r},t)=\mu_{0}\vec{j}(\vec{r})+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial \vec{E}(\vec{r},t)}{\partial t} \label{ampere-1}\tag{1}
\end{align}
ただし\(\varepsilon_{0}\)は真空の誘電率、\(\mu_{0}\)は真空の透磁率である。
「アンペール」と「マクスウェル」はそれぞれ人名であり、逆にしてマクスウェル・アンペールの法則と表記されることもある。
(\ref{ampere-1})は微分形であり、積分形は下記のようにして求める。
まず、磁束が貫いている面\(S\)で、両辺を面積分する。
\begin{align}
\iint_{S}\{\nabla\times\vec{B}(\vec{r},t)\}\cdot d\vec{S}&=\iint_{S}\left\{\mu_{0}\vec{j}(\vec{r})+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial \vec{E}(\vec{r},t)}{\partial t} \right\}\cdot d\vec{S} \\
&=\mu_{0}\iint_{S}\vec{j}(\vec{r})\cdot d\vec{S}+\mu_{0}\iint_{S}\varepsilon_{0}\frac{\partial \vec{E}(\vec{r},t)}{\partial t} \cdot d\vec{S}\label{amseki1}\tag{2}
\end{align}
(\ref{amseki1})の最右辺にある、電流密度を面積分する部分は電流そのものである。よって最右辺の1項目の電流を\(I\)、2項目の電流を\(I_{\text{d}}(t)\)と置いて、
\begin{align}
\iint_{S}\{\nabla\times\vec{B}(\vec{r},t)\}\cdot d\vec{S}=\mu_{0}\{I+I_{\text{d}}(t)\}\label{amseki2}\tag{3}
\end{align}
となる。
ここで、任意のベクトル関数\(\vec{f}\)について成立する数学の積分定理の1つであるストークスの定理\(\int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{s}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{f})\cdot d\vec{S}\)を利用すると(\ref{amseki2})は
\begin{align}
\int_{C}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot d\vec{s}=\mu_{0}\{I+I_{\text{d}}(t)\}\label{amseki3}\tag{4}
\end{align}
と書き直せる。
ただし、\(C\)は面\(S\)を囲む閉曲線であり、\(d\vec{s}\)は閉曲線\(C\)に沿った微小な線要素である。
この法則は、ある面\(S\)を電流が貫くとき、面\(S\)を囲う閉曲線\(C\)で磁場が生じることを示している。
アンペールの法則からの導出
気づいた人もいるかもしれないが、(\ref{amseki3})の右辺の電流は時間変化するものとしないもの分かれている。
この時間変化しない電流\(I\)は定常電流を表しており、時間変化する電流\(I_{\text{d}}(t)\)は変位電流または電束電流と呼ばれる。
実は第2項の変位電流の項はマクスウェルによって後付けされたもので、もともとは第2項がない形、すなわち
\begin{align}
\int_{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{s}=\mu_{0}I \label{am1}\tag{5}
\end{align}
がかつての形であった。
これをアンペールの法則と呼ぶ。
微分形は(\ref{ampere-1})から第2項を除いたものだから、
\begin{align}
\nabla\times\vec{B}(\vec{r})=\mu_{0}\vec{j}(\vec{r}) \label{am2}\tag{6}
\end{align}
となる。
アンペールの法則は、定常電流\(I\)が作る磁場\(\vec{B}(\vec{r})\)との関係を示した法則であり、定常電流が作る磁場を計算する際に使われる。
なぜマクスウェルは第2項を追加したのか。
先に答えを言ってしまうと、アンペールの法則は電荷保存則を満たさないからだ。
電荷保存則は電流密度\(\vec{j}(\vec{r},t)\)の発散と電荷密度\(\rho(\vec{r},t)\)の間に成り立つ法則で、
\begin{align}
\nabla\cdot\vec{j}(\vec{r},t)+\frac{\partial \rho(\vec{r},t)}{\partial t}=0\label{denkahozon}\tag{7}
\end{align}
で表される。
(\ref{denkahozon})の表式だとわかりづらいが、両辺を電荷が存在する領域\(V\)で体積積分し、ガウスの定理\(\iint_{S}\vec{f}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{f}dV\)を使って整理すると、
\begin{gather}
\iiint_{V}\left\{\nabla\cdot\vec{j}(\vec{r},t)+\frac{\partial \rho(\vec{r},t)}{\partial t}\right\}dV=0\\
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{j}(\vec{r},t)dV=-\frac{d}{dt}\iiint_{V}\rho(\vec{r},t)dV\\
\iint_{S}\vec{j}(\vec{r},t)\cdot d\vec{S}=-\frac{d}{dt}\iiint_{V}\rho(\vec{r},t)dV\\
I(t)=-\frac{d Q(t)}{dt} \label{denkahozon2}\tag{8}
\end{gather}
となる。
(\ref{denkahozon2})は、領域\(V\)を囲う閉曲面\(S\)から流れ出る電流\(I(t)\)が、領域\(V\)内の全電荷\(Q(t)\)の単位時間当たりの減少量に一致していることを表している。
言い換えると、電荷量\(Q(t)\)というわき出し源が存在し、そこから電流という形で電荷が流れ出ると\(Q(t)\)が減少するという、電荷の流れを示した法則である。
アンペールの法則が電荷保存則を満たさないことは、(\ref{am2})の両辺の発散をとって、ベクトル解析の公式\(\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})=0\)を利用することですぐに確認できる。
\begin{gather}
\nabla\cdot\{\nabla\times\vec{B}(\vec{r})\}=\nabla\cdot\{\mu_{0}\vec{j}(\vec{r})\}\\
\mu_{0}\nabla\cdot\vec{j}(\vec{r})=0 \\
\nabla\cdot\vec{j}(\vec{r})=0 \label{teijou}\tag{9}
\end{gather}
(\ref{denkahozon})と比べると、わき出し源となる電荷密度の項がないことがわかる。
この矛盾を回避するには次のようにすればよい。
まず、電荷保存則(\ref{denkahozon})の電荷密度の項にガウスの法則を代入し、次のように整理していく。
(電荷密度が時間変化してもガウスの法則が常に成立する。)
\begin{gather}
\nabla\cdot\vec{j}(\vec{r},t)+\frac{\partial}{\partial t}\{\varepsilon_{0}\nabla\cdot\vec{E}(\vec{r},t)\}=0 \\
\nabla\cdot\left\{\vec{j}(\vec{r},t)+\varepsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}(\vec{r},t)}{\partial t}\right\}=0\\
\nabla\cdot\vec{j}\,'(\vec{r},t)=0 \label{syomei2}\tag{10}
\end{gather}
(\ref{syomei2})と(\ref{teijou})は同じ形をしているため、電流密度\(\vec{j}\,'(\vec{r},t)\)をアンペールの法則(\ref{am2})に取り入れて
\begin{gather}
\nabla\times\vec{B}(\vec{r})=\mu_{0}\vec{j}\,'(\vec{r}) \\
\nabla\times\vec{B}(\vec{r})=\mu_{0}\left\{\vec{j}(\vec{r},t)+\varepsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}(\vec{r},t)}{\partial t}\right\}\\
\nabla\times\vec{B}(\vec{r})=\mu_{0}\vec{j}(\vec{r},t)+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}(\vec{r},t)}{\partial t} \tag{11}
\end{gather}
とすれば、電荷保存則を満たすアンペールの法則、アンペール・マクスウェルの法則が完成する。
アンペール・マクスウェルの法則が電荷保存則を満たすことは、ガウスの法則を利用して次のように確かめられる。
\begin{gather}
\nabla\cdot\{\nabla\times\vec{B}(\vec{r})\}=\nabla\cdot\left\{\mu_{0}\vec{j}(\vec{r})+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}(\vec{r},t)}{\partial t}\right\}\\
\nabla\cdot\vec{j}(\vec{r})+\frac{\partial}{\partial t}\{\varepsilon_{0}\nabla\cdot\vec{E}(\vec{r},t)\}=0 \\
\nabla\cdot\vec{j}(\vec{r})+\frac{\partial\rho(\vec{r},t)}{\partial t}=0 \tag{12}
\end{gather}
ビオ・サバールの法則
ここで、アンペールの法則に関連するもう1つの法則について触れておく。
アンペールの法則と同様に、定常電流が作る磁場を求める法則にビオ・サバールの法則というものがあり、次式で表される。
\begin{gather}
\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\int_{C}\frac{d\vec{r}\,’\times(\vec{r}-\vec{r}\,’)}{|\vec{r}-\vec{r}\,’|^{3}} \label{bio} \tag{13}\\
\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\iiint_{V}\frac{\vec{j}(\vec{r}\,’)\times(\vec{r}-\vec{r}\,’)}{|\vec{r}-\vec{r}\,’|^{3}}dV’ \label{bio2}\tag{14}
\end{gather}
(\ref{bio})、(\ref{bio2})はいずれも位置\(\vec{r}\)に作られる磁場\(\vec{B}(\vec{r})\)を算出するものだが、(\ref{bio})は回路\(C\)に定常電流\(I\)が流れている場合、(\ref{bio2})は領域\(V\)に電流密度\(\vec{j}(\vec{r}\,’)\)で定常電流が流れている場合に使われる。
アンペールがアンペールの法則を発見する数か月前に、ビオとサバールという2人の物理学者によって発見された法則である。
2つの法則の本質は同等であり、アンペールの法則からビオ・サバールの法則を導出することも可能であるが、長くなるので割愛する。
任意の電流分布に対して適用可能な汎用性の高い法則だが、式の形を見て想像できるように計算自体は煩雑なものになりがちだ。
しかし電磁気学の演習では、しばしばこのビオ・サバールの法則を使った問題が出題されるため、演習をする上で避けては通れない法則である。
典型問題を解いてみる。
さてここでこれまで通り典型問題を、と行きたいところだが、今回はアンペール・マクスウェルの法則を使う問題ではなく、重要度が比較的高い(と個人的に思っている)ビオ・サバールの法則またはアンペールの法則を利用する問題を見ていきたいと思う。
つまりは、さまざまな定常電流が作る磁場を求めていく典型問題を扱っていく。
今回は大きく
・ビオ・サバールの法則で解く系
⇒ 無限長の直線電流、方形電流、円形電流、ソレノイド
・アンペールの法則で解く系
⇒ 無限長の直線電流、ソレノイド、無限長の円筒電流
の2つに区分し、どこで記事を区切るかは文字数で判断する。
まずはビオ・サバールの法則で解ける系から見ていこう。
続きはこちら。
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