前回
にて一様磁場および円筒電場中でのローレンツ力による電子の運動を見てきた。
今回も前回と似ているが、解析的には電子の運動を記述できない系を扱う。
解析的には解けないので運動方程式の導出のみで止めるが、今回はデカルト座標系と円筒座標系の2種類の運動方程式を導出してみる。
ローレンツ力の復習
電荷qを有する荷電粒子が、電場→Eと磁場→Bが存在する真空中を速度→vで運動している。
このとき、荷電粒子が電場および磁場から受ける力→Fは次式で表される。
→F=q{→E+→v×→B}
この→Fをローレンツ力と呼ぶ。
さらに荷電粒子の質量をmとし、運動方程式を利用して→Fと→vを変位→rの時間微分で表すと
md2dt2→r=q{→E+ddt→r×→B}
となる。
一様磁場および大きさ一定の円筒電場の系
系の概要
z軸方向に一様磁場→B=(0,0,B)に加え、電場→E=(Ex/√x2+y2,Ey/√x2+y2,0)が存在する真空中での、質量m>0、電荷q≠0の荷電粒子の運動を考える。
この電場は動径方向に向きを持つが、大きさは位置に依存せず一定である(下図参照)。

デカルト座標系での運動方程式の導出
まず(2)の右辺に各条件を代入して整理すると
q{→E+ddt→r×→B}=q{(Ex√x2+y2,Ey√x2+y2,0)+ddt(x,y,z)×(0,0,B)}=q{(Ex√x2+y2,Ey√x2+y2,0)+ddt(yB,−xB,0))}=q{E(x√x2+y2,y√x2+y2,0)+Bddt(y,−x,0))}
となる。
よって(2)は
md2dt2→r=q{E(x√x2+y2,y√x2+y2,0)+Bddt(y,−x,0))}
となる。
よって各成分について抜き出すと
md2dt2x=qEx√x2+y2+qBddtymd2dt2y=qEy√x2+y2−qBddtxmd2dt2z=0
となる。
円筒座標系での運動方程式の導出
電場が動径方向に広がっているため、円筒座標系で扱うことを考える。
このとき、r≥0,0≤θ<2πとして、x=rcosθ,y=rsinθとなる。
導出には、オイラー・ラグランジュ方程式を用いる。
今回の系におけるラグランジアンLは
L=12m(v2x+v2y+v2z)−q(ϕ−→v⋅→A)
となる。
ただしϕは静電ポテンシャル、→Aはベクトルポテンシャルであり
→E=(Ex√x2+y2,Ey√x2+y2,0)=−∇ϕ→B=(0,0,B)=∇×→A
を満たす。
このとき、
ϕ=−E√x2+y2=−Er→A=B2(−y,x,0)=12B(−rsinθ,rcosθ,0)
となる。
ここで、速度を円筒座標系で表現する。
vx=ddtx=ddtrcosθ=cosθdrdt−rsinθdθdtvy=ddty=ddtrsinθ=sinθdrdt+rcosθdθdt
よって(12)、(13)より
v2x+v2y=(cosθdrdt−rsinθdθdt)2+(sinθdrdt+rcosθdθdt)2=cos2θ(drdt)2−2rsinθcosθdrdtdθdt+r2sin2θ(dθdt)2+sin2θ(drdt)2+2rsinθcosθdrdtdθdt+r2cos2θ(dθdt)2=(drdt)2+r2(dθdt)2=v2r+r2v2θ→v⋅→A=(vx,vy,vz)⋅B2(−rsinθ,rcosθ,0)=(cosθdrdt−rsinθdθdt,sinθdrdt+rcosθdθdt,vz)⋅B2(−rsinθ,rcosθ,0)=B2(−rsinθcosθdrdt+r2sin2θdθdt+rsinθcosθdrdt+r2cos2θdθdt)=Br22dθdt=Br2vθ2
となる。
ただしvr=dr/dt,vθ=dθ/dtとおいた。
よって(10)、(14)、(15)を(7)に代入して整理すると
L=12m(v2r+r2v2θ+v2z)+q(Er+Br2vθ2)
となり、円筒座標系でのラグランジアンを得られる。
後はこのラグランジアンを円筒座標系でのオイラー・ラグランジュ方程式
ddt(∂L∂vr)−∂L∂r=0ddt(∂L∂vθ)−∂L∂θ=0ddt(∂L∂vz)−∂L∂z=0
に代入して運動方程式を求めればよい。
先にラグランジアンの偏微分を一通り求めておく。
∂L∂r=mrv2θ+qE+qBrvθ∂L∂θ=0∂L∂z=0∂L∂vr=mvr∂L∂vθ=mr2vθ+qBr22∂L∂vz=mvz
まずrについて、(20)と(23)を(17)に代入して整理すると
ddt(mvr)−(mrv2θ+qE+qBrvθ)=0m(ddtvr−rv2θ)=q(E+Brvθ)
となる。
次にθについて、(21)と(24)を(18)に代入して整理すると
ddt(mr2vθ+qBr22)−0=02mrvθdrdt+mr2ddtvθ+qBrdrdt=02mvθdrdt+mrddtvθ+qBdrdt=02mvθvr+mrddtvθ+qBvr=0m(rddtvθ+2vrvθ)=−qBvr
となる。
最後に次にzについて、(22)と(25)を(19)に代入して整理すると
ddt(mvz)−0=0mddtvz=0
となる。
まとめると、円筒座標系での運動方程式は
m(ddtvr−rv2θ)=q(E+Brvθ)m(rddtvθ+2vrvθ)=−qBvrmddtvz=0
となる。
荷電粒子の軌跡のシミュレーション
最後に、上で求めた運動方程式をPythonのSciPyパッケージのodeintモジュールで解いた結果を掲載する。
荷電粒子の軌跡は、前回見たような二重の円運動となる(図1)。
z方向に初速度を持っていればらせん運動となる(図2)。


終わりに
今回の執筆でPythonもかなりいじったので、そこで得られた知見も記事化していこうと思う。
END
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