【電磁気学】単磁荷不在の法則~ベクトルポテンシャルとの関係~

電磁気学

 マクスウェル方程式を取り上げ、これまでガウスの法則に関する記事を書いてきた。

 今回から、マクスウェル方程式の2つ目「単磁荷不在の法則」を見ていく。

単磁荷不在の法則

 単磁荷不在の法則は、磁束密度\(\vec{B}(\vec{r},t)\)に関して下記のように成り立つ法則である。

\begin{align}
\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0 \label{単磁荷不在}\tag{1}
\end{align}

 電場の発散を与える法則がガウスの法則であるため、磁場の発散を与える(\ref{単磁荷不在})は磁場に関するガウスの法則とも呼ばれる。

 ガウスの法則でも実施したように、ガウスの定理を用いて下記のように積分形に書き直すこともできる。

\begin{align}
\iint_{S}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot d\vec{S}=0 \label{単磁荷不在2}\tag{2}
\end{align}

 ガウスの法則では積分形の右辺に電荷が存在していたが、(\ref{単磁荷不在2})では右辺は常に0である。

 したがって、電荷という単体の発生源が存在する電場とは違い、磁場にはそれ単体で発生源となる磁荷が存在しない。

 これが「単磁荷不在」と呼ぶ所以である。

導出

 この単磁荷不在の法則(\ref{単磁荷不在})は、時間\(t\)に依存しない静磁場の条件下であればベクトルポテンシャルを使うと簡単に導くことができる。

 ベクトルポテンシャル\(\vec{A}(\vec{r})\)は、次式のように自身の回転をとると磁束密度になるベクトル量である。

\begin{align}
\vec{B}(\vec{r})=\nabla\times\vec{A}(\vec{r}) \label{ベクトルポテンシャル}\tag{3}
\end{align}

 この量は、自身の勾配をとると電場になる静電ポテンシャル(スカラーポテンシャル)に対応する量である。

\begin{align}
\vec{E}(\vec{r})=-\nabla\phi(\vec{r}) \tag{4}
\end{align}

 

 導出は単純で、(\ref{ベクトルポテンシャル})の両辺の発散をとるだけである。

\begin{align}
\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r})=\nabla\cdot\{\nabla\times\vec{A}(\vec{r})\}=0 \tag{5}
\end{align}

 \(\nabla\cdot(\nabla\times \vec{f})=0\)は任意のベクトル\(\vec{f}\)で成立するベクトル解析の公式である。
 計算練習として一度証明してみるとよいだろう。

 時間依存を含む単磁荷不在の法則(\ref{単磁荷不在})は、マクスウェル方程式の1つである電磁誘導の法則を使うことで証明できる。

 またベクトルポテンシャルそのものはビオ-サバールの法則から導かれる。
 こちらに関しては、マクスウェル方程式の記事がひと段落ついたら取り上げたいと思う。

次回予告

 単磁荷不在の法則については、これ単体で展開していく基本問題はないため例題解説記事は作らない。

 次回からはもうマクスウェル方程式の3つ目、ファラデーの電磁誘導の法則を取り上げることにする。

 

 END

 

 ※追記
 マクスウェル方程式3つ目、ファラデーの電磁誘導の法則の記事執筆。

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