【微積分】ヤコビ行列とヤコビアン②～直交座標系から極座標系・円筒座標系への変換～

　前回

にてヤコビ行列とヤコビアンを紹介し、例題を解いてみた。

　本記事では、直交座標系から極座標系および円筒座標系への座標変換する際のヤコビ行列とヤコビアンを求める。

　この座標変換は多くの場面で用いられるため、抑えておくと後々楽になる。

　またここからは関数の表記は省略し、\(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}\to\frac{\partial}{\partial x}}\)のように表記する。

二次元直交座標系\(\,\to\,\)二次元極座標系

　まずは二次元直交座標系から二次元極座標系への座標変換\((x,y)\to(r,\theta)\)から見ていく。

　変数変換は

\begin{align}
\begin{cases}
x=r\cos\theta \\
y=r\sin\theta
\end{cases} \tag{1}\label{2xyrt-1}
\end{align}

で与えられるため、ヤコビ行列は

\begin{align}
\mathcal{J}(x,y|r,\theta)=\begin{pmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial r}}&\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial \theta}}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial r}}&\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial \theta}}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta\\ \\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{pmatrix} \tag{2}\label{yakobixyrt-1}
\end{align}

となる。

　よって座標変換後の偏微分は連鎖律の公式から

\begin{gather}
\left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta}\right)=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right)\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta\\ \\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{pmatrix}\notag \\ \notag \\
\downarrow \notag \\ \notag \\
\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial r}=\cos\theta\frac{\partial}{\partial x}+\sin\theta\frac{\partial}{\partial y}}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial \theta}=-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial x}+r\cos\theta\frac{\partial}{\partial y}}
\end{cases} \tag{3}\label{2xyrtrensa}
\end{gather}

となる。

　

　またヤコビアンは(\ref{yakobixyrt-1})より

\begin{align}
\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}=r\cos^{2}\theta+r\sin^{2}\theta=r \tag{4}\label{yakobixyrt-2}
\end{align}

となる。

　

　以上の結果を表にまとめておく。

ヤコビ行列	\(\mathcal{J}(x,y|r,\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\)
座標変換後の偏微分	\(\begin{cases} \displaystyle{\frac{\partial}{\partial r}=\cos\theta\frac{\partial}{\partial x}+\sin\theta\frac{\partial}{\partial y}}\\ \\ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial \theta}=-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial x}+r\cos\theta\frac{\partial}{\partial y}} \end{cases}\)
ヤコビアン	\(\displaystyle{\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}=r}\)

三次元直交座標系\(\,\to\,\)三次元円筒座標系

　次に三次元直交座標系から三次元円筒座標系への座標変換\((x,y,z)\to(r,\theta,z)\)を考える。

　と言っても、変数変換は

\begin{align}
\begin{cases}
x=r\cos\theta \\
y=r\sin\theta \\
z=z
\end{cases} \tag{5}\label{2xyzrtz-1}
\end{align}

で与えられるため、実質的には二次元直交座標系から二次元極座標系への座標変換と変わらない。

　

　結果だけ下の表にまとめておく。

ヤコビ行列	\(\mathcal{J}(x,y,z|r,\theta,z)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta&0\\ \sin\theta & r\cos\theta&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\)
座標変換後の偏微分	\(\begin{cases} \displaystyle{\frac{\partial}{\partial r}=\cos\theta\frac{\partial}{\partial x}+\sin\theta\frac{\partial}{\partial y}}\\ \\ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial \theta}=-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial x}+r\cos\theta\frac{\partial}{\partial y}}\\ \\ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}} \end{cases}\)
ヤコビアン	\(\displaystyle{\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,z)}=r}\)

三次元直交座標系\(\,\to\,\)三次元極座標系

　最後に三次元直交座標系から三次元極座標系への座標変換\((x,y,z)\to(r,\theta,\phi)\)を考える。

　変数変換は

\begin{align}
\begin{cases}
x=r\sin\theta\cos\phi \\
y=r\sin\theta\sin\phi \\
z=r\cos\theta
\end{cases} \tag{6}\label{3xyzrtp-1}
\end{align}

で与えられるため、ヤコビ行列は

\begin{align}
\mathcal{J}(x,y,z|r,\theta,\phi)=\begin{pmatrix}
\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial r}}&\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial \theta}}&\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial \phi}}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial r}}&\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial \theta}}&\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial \phi}}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial r}}&\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial \theta}}&\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial \phi}}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\\ \\
\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&r\sin\theta\cos\phi\\ \\
\cos\theta&-r\sin\theta&0
\end{pmatrix} \tag{7}\label{yakobixyzrtp-1}
\end{align}

となる。

　よって座標変換後の偏微分は連鎖律の公式から

\begin{gather}
\left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta},\frac{\partial}{\partial \phi}\right)=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\\ \\
\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&r\sin\theta\cos\phi\\ \\
\cos\theta&-r\sin\theta&0
\end{pmatrix}\notag \\ \notag \\
\downarrow \notag \\ \notag \\
\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial r}=\sin\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial x}+\sin\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial y}+\cos\theta\frac{\partial}{\partial z}} \\ \\
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial \theta}=r\cos\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial x}+r\cos\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial y}-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}}\\ \\
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial \phi}=-r\sin\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial x}+r\sin\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial y}}
\end{cases} \tag{8}\label{3xyzrtprensa}
\end{gather}

となる。

　

　またヤコビアンは(\ref{yakobixyzrtp-1})より

\begin{align}
\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\phi)}&=r^{2}\sin\theta\cos^{2}\theta\cos^{2}\phi+r^{2}\sin^{3}\theta\sin^{2}\phi+r^{2}\sin\theta\cos^{2}\theta\sin^{2}\phi+r^{2}\sin^{3}\theta\cos^{2}\phi \notag \\
&=r^{2}\sin\theta\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{3}\theta \notag \\
&=r^{2}\sin\theta \tag{9}\label{yakobixyzrtp-2}
\end{align}

となる。

　

　以上の結果を表にまとめておく。

ヤコビ行列	\(\mathcal{J}(x,y,z|r,\theta,\phi)=\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\\ \\ \sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&r\sin\theta\cos\phi\\ \\ \cos\theta&-r\sin\theta&0 \end{pmatrix}\)
座標変換後の偏微分	\(\begin{cases} \displaystyle{\frac{\partial}{\partial r}=\sin\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial x}+\sin\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial y}+\cos\theta\frac{\partial}{\partial z}} \\ \\ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial \theta}=r\cos\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial x}+r\cos\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial y}-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}}\\ \\ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial \phi}=-r\sin\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial x}+r\sin\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial y}} \end{cases}\)
ヤコビアン	\(\displaystyle{\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\phi)}=r^{2}\sin\theta}\)

終わりに

　これでヤコビ行列とヤコビアンの解説は区切りをつける。

　これで多重積分の準備が整った。

　しかしせっかく極座標系への座標変換時の偏微分を計算したので、多重積分に入る前に少し寄り道して、ラプラシアンの極座標表示の計算記事を書こうと思う。

　

　END

　

　※追記

　ラプラシアンの極座標表示の導出記事を執筆。