【ラプラス変換】問題演習～微分方程式～

　前回

【ラプラス変換】ラプラス変換とラプラス逆変換～概要と例題～

本記事から、ラプラス変換の解説を始めていく。　フーリエ変換と同様に、ラプラス変換もある関数を別の関数に写像する操作である。　ラプラス変換を利用すると、微分方程式を容易に解くことができる。概要　\(0\leq t<\infty\)で定...

にてラプラス変換を紹介し、さらにそれを利用した微分方程式の解法について解説した。

　本記事では、前回より複雑な微分方程式をラプラス変換を利用して解いていく。

0. 変換表・性質・微分方程式の解法
1. 線形斉次の2階常微分方程式
2. 線形非斉次の2階常微分方程式
3. 連立微分方程式
4. 終わりに

0. 変換表・性質・微分方程式の解法

　ここに、具体的な関数のラプラス変換表とラプラス変換の性質をまとめた表を示す。

　問題解説時にはこの表の情報を利用する。

変換前\(f(t)\)	変換後\(F(s)\)
\(1\)	\(\displaystyle{\frac{1}{s}}\)
\(t^{n}\)	\(\displaystyle{\frac{n!}{s^{n+1}}}\)
\(e^{at}\)	\(\displaystyle{\frac{1}{s-a}}\)
\(\cos(at)\)	\(\displaystyle{\frac{s}{s^{2}+a^{2}}}\)
\(\sin(at)\)	\(\displaystyle{\frac{a}{s^{2}+a^{2}}}\)
\(\cosh(at)\)	\(\displaystyle{\frac{s}{s^{2}-a^{2}}}\)
\(\sinh(at)\)	\(\displaystyle{\frac{a}{s^{2}-a^{2}}}\)

表1：具体的な関数のラプラス変換表

	変換前\(f(t)\)	変換後\(F(s)\)
線形性	\(af(t)+bg(t)\)	\(aF(s)+bG(s)\)
対称性	\(f(at)\)	\(\displaystyle{\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)}\)
指数関数との積	\(e^{at}f(t)\)	\(F(s-a)\)
\(n\)階微分	\(\displaystyle{\frac{d^{n}}{dt^{n}}f(t)}\)	\(\displaystyle{s^{n}F(s)-\sum_{k=1}^{n}s^{n-k}\left.\frac{d^{k-1}}{dt^{k-1}}f(t)\right\|_{t=0}}\)
\(t^{n}\)との積	\(t^{n}f(t)\)	\(\displaystyle{(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s)}\)
\(1/t^{n}\)との積	\(\displaystyle{\frac{f(t)}{t^{n}}}\)	\(\displaystyle{\int_{s}^{\infty} \int_{s}^{\infty} \cdots \int_{s}^{\infty} F(s)(ds)^{n}}\)
積分	\(\displaystyle{\int_{0}^{t} \int_{0}^{u_{n-1}}\cdots\int_{0}^{u_{1}}f(u)dudu_{1}\cdots du_{n-1}}\)	\(\displaystyle{\frac{F(s)}{s^{n}}}\)

表2：ラプラス変換の性質一覧表

　また、ラプラス変換を利用した微分方程式の解法も示しておく。

ラプラス変換を利用した微分方程式の解法

①　\(f(t)\)の微分方程式をラプラス変換する。

②　\(F(s)\)の代数方程式が現れるので、これを\(F(s)\)について解く。

③　\(F(s)\)について解いた代数方程式をラプラス逆変換する。

1. 線形斉次の2階常微分方程式

例題1

　次の線形斉次の2階常微分方程式をラプラス変換を利用して解け。

　ただし\(df(t)/dt=f'(t), d^{2}f(t)/dt^{2}=f^{\prime\prime}(t) \)である。

(1)　\(\displaystyle{f ^{\prime\prime} (t)-7f'(t)+10f(t)=0\quad\left(f(0)=2,\,f'(0)=1\right)}\)

(2)　\(\displaystyle{f ^{\prime\prime} (t)-6f'(t)+9f(t)=0\quad\left(f(0)=1,\,f'(0)=4\right)}\)

解説

　\(\mathcal{L}[f(t)]=F(s)\)とする。

(1)

　両辺をラプラス変換すると

\begin{gather}
\mathcal{L}\left[f^{\prime\prime}(t) \right]-7\mathcal{L}[f'(t)]+10\mathcal{L}[f(t)]=0\\
s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)-7\{sF(s)-f(0)\}+10F(s)=0 \\
s^{2}F(s)-2s-1-7\{sF(s)-2\}+10F(s)=0 \quad(初期条件より)\\
(s^{2}-7s+10)F(s)=2s-13\\
F(s)=\frac{2s-13}{(s-5)(s-2)}\label{laprei1-1}\tag{1}
\end{gather}

となる。

　(\ref{laprei1-1})を整理すると

\begin{align}
F(s)&=\frac{2s}{(s-5)(s-2)}-\frac{13}{(s-5)(s-2)} \\
&=2\frac{s-5}{(s-5)(s-2)}-\frac{3}{(s-5)(s-2)} \\
&=\frac{2}{s-2}-\left(\frac{1}{s-5}-\frac{1}{s-2}\right)\\
&=\frac{3}{s-2}-\frac{1}{s-5}
\end{align}

となるため、これをラプラス逆変換すれば

\begin{align}
\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=3 \mathcal{L} ^{-1} \left[\frac{1}{s-2}\right]+\mathcal{L} ^{-1} \left[\frac{1}{s-5}\right]=3e^{2t}+e^{5t}
\end{align}

となる。

　よって解は\(\boxed{f(t)=3e^{2t}+e^{5t}}\)となる。

(2)

　両辺をラプラス変換すると

\begin{gather}
\mathcal{L}\left[f^{\prime\prime}(t) \right]-6\mathcal{L}[f'(t)]+9\mathcal{L}[f(t)]=0\\
s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)-6\{sF(s)-f(0)\}+9F(s)=0 \\
s^{2}F(s)-s-4-6\{sF(s)-1\}+9F(s)=0 \quad(初期条件より)\\
(s^{2}-6s+9)F(s)=s-2\\
F(s)=\frac{s-2}{(s-3)^{2}}\label{laprei2-1}\tag{2}
\end{gather}

となる。

　(\ref{laprei2-1})を整理すると

\begin{align}
F(s)&=\frac{s}{(s-3)^{2}}-\frac{2}{(s+2)^{2}} \\
&=\frac{1}{s-3}-\frac{1}{(s-3)^{2}}
\end{align}

となるため、これをラプラス逆変換すれば

\begin{align}
\mathcal{L} ^{-1} [F(s)]&=\mathcal{L} ^{-1} \left[\frac{1}{s-3}\right]+\mathcal{L} ^{-1} \left[\frac{1}{(s-3)^{2}}\right]=e^{3t}+te^{3t}
\end{align}

となる。

\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{(s-3)^{2}}\right] = te^{3t} }\)の証明

　\(f(t)=t\)と置くと、\(\displaystyle{\mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\frac{1}{s^{2}}}\)となる。

　よって\(\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)\)より、\(\displaystyle{\mathcal{L}[ e^{3t} t]=F(s-3)=\frac{1}{(s-3)^{2}}}\)となるため、ラプラス逆変換は\( \displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{(s-3)^{2}}\right] = te^{3t} } \)となる。

　よって解は\(\boxed{f(t)=(1+t)e^{3t}}\)となる。

2. 線形非斉次の2階常微分方程式

例題2

　次の線形非斉次の2階常微分方程式をラプラス変換を利用して解け。

　ただし\(df(t)/dt=f'(t), d^{2}f(t)/dt^{2}=f^{\prime\prime}(t) \)である。

(1)　\(\displaystyle{f ^{\prime\prime} (t)+4f'(t)+4f(t)=16e^{2t}\quad\left(f(0)=3,\,f'(0)=1\right)}\)

(2)　\(\displaystyle{f ^{\prime\prime} (t)-4f(t)=8\sin(2t)\quad\left(f(0)=4,\,f'(0)=2\right)}\)

解説

　\(\mathcal{L}[f(t)]=F(s)\)とする。

(1)

　両辺をラプラス変換すると

\begin{gather}
\mathcal{L}\left[f^{\prime\prime}(t) \right]+4\mathcal{L}[f'(t)]+4\mathcal{L}[f(t)]=16 \mathcal{L}[e^{2t}]\\
s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)+4\{sF(s)-f(0)\}+4F(s)=\frac{16}{s-2} \\
s^{2}F(s)-3s-1+4\{sF(s)-3\}+4F(s)=\frac{16}{s-2} \quad(初期条件より)\\
(s^{2}+4s+4)F(s)=\frac{16}{s-2}+3s+13\\
F(s)=\frac{16}{(s-2)(s+2)^{2}}+\frac{3s+13}{(s+2)^{2}}\label{laprei3-1}\tag{3}
\end{gather}

となる。

　(\ref{laprei3-1})を整理すると

\begin{align}
F(s)&=\frac{16}{(s-2)(s+2)^{2}}+\frac{3s+13}{(s+2)^{2}} \\
&=\frac{4}{s+2}\left(\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s+2}\right)+\frac{3(s+2)+7}{(s+2)^{2}}\\
&=\frac{4}{(s+2)(s-2)}-\frac{4}{(s+2)^{2}}+\frac{3}{s+2}+\frac{7}{(s+2)^{2}}\\
&=\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s+2}+\frac{3}{s+2}+\frac{3}{(s+2)^{2}}\\
&=\frac{1}{s-2}+\frac{2}{s+2}+\frac{3}{(s+2)^{2}}
\end{align}

となるため、これをラプラス逆変換すれば

\begin{align}
\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-2}\right]+2\mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s+2}\right]+3 \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{(s+2)^{2}}\right]=e^{2t}+2e^{-2t}+3te^{-2t}
\end{align}

となる。

\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{(s+2)^{2}}\right] = te^{-2t} }\)の証明

　\(f(t)=t\)と置くと、\(\displaystyle{\mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\frac{1}{s^{2}}}\)となる。

　よって\(\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)\)より、\(\displaystyle{\mathcal{L}[ e^{-2t} t]=F(s+2)=\frac{1}{(s+2)^{2}}}\)となるため、ラプラス逆変換は\( \displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{(s+2)^{2}}\right] = te^{-2t} } \)となる。

　よって解は\(\boxed{f(t)=(3t+2)e^{-2t}+e^{2t}}\)となる。

(2)

　両辺をラプラス変換すると

\begin{gather}
\mathcal{L}\left[f^{\prime\prime}(t) \right]-4\mathcal{L}[f(t)]=8\sin(2t)\\
s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)-4F(s)=8\cdot\frac{2}{s^{2}+4} \\
s^{2}F(s)-4s-2-4F(s)=\frac{16}{s^{2}+4} \quad(初期条件より)\\
(s^{2}-4)F(s)=\frac{16}{s^{2}+4}+4s+2\\
F(s)=\frac{16}{(s^{2}+4)(s^{2}-4)}+\frac{4s+2}{s^{2}-4}\label{laprei4-1}\tag{4}
\end{gather}

となる。

　(\ref{laprei4-1})を整理すると

\begin{align}
F(s)&=2\left(\frac{1}{s^{2}-4}-\frac{1}{s^{2}+4}\right)+\frac{4s+2}{s^{2}-4}\\
&=\frac{4s+4}{s^{2}-4}-\frac{2}{s^{2}+4}\\
&=\frac{4(s-2)+12}{s^{2}-4}-\frac{2}{s^{2}+4}\\
&=\frac{4}{s+2}+\frac{12}{(s+2)(s-2)}-\frac{2}{s^{2}+4}\\
&=\frac{4}{s+2}+\frac{12}{4}\left(\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s+2}\right) -\frac{2}{s^{2}+4}\\
&=\frac{4}{s+2}+\frac{3}{s-2}-\frac{3}{s+2}-\frac{2}{s^{2}+4} \\
&=\frac{1}{s+2}+\frac{3}{s-2}-\frac{2}{s^{2}+4}
\end{align}

となるため、これをラプラス逆変換すれば

\begin{align}
\mathcal{L} ^{-1} [F(s)]&=\mathcal{L} ^{-1}\left[\frac{1}{s+2}\right]+3\mathcal{L} ^{-1} \left[\frac{1}{s-2}\right]-\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2}{s^{2}+4}\right] =e^{-2t}+3e^{2t}-\sin(2t)
\end{align}

となる。

　よって解は\(\boxed{f(t)=e^{-2t}+3e^{2t}-\sin(2t)}\)となる。

3. 連立微分方程式

例題3

　次の連立微分方程式をラプラス変換を利用して解け。

　ただし\(df(t)/dt=f'(t), d^{2}f(t)/dt^{2}=f^{\prime\prime}(t) \)である。

\begin{align}
\begin{cases}
f_{a}^{\prime\prime}(t)=-2f_{a}(t)+f_{b}(t)\\
f_{b}^{\prime\prime}(t)=f_{a}(t)-2f_{b}(t)+f_{c}(t)\\
f_{c}^{\prime\prime}(t)=f_{b}(t)-2f_{c}(t)
\end{cases}
\end{align}

　ただし初期条件は\(f_{a}(0)=-L,f_{b}(0)=0,f_{c}(0)=L,f_{a}^{\prime}(0)= f_{b}^{\prime}(0)= f_{c}^{\prime}(0)=0\)である。

解説

　\(\mathcal{L}[f(t)]=F(s)\)とする。

　各式の両辺をラプラス変換して整理すると

\begin{gather}
\begin{cases}
\mathcal{L}[f_{a}^{\prime\prime}(t)]=-2 \mathcal{L}[ f_{a}(t)]+ \mathcal{L}[ f_{b}(t)]\\
\mathcal{L}[ f_{b}^{\prime\prime}(t)]= \mathcal{L}[ f_{a}(t)]-2 \mathcal{L}[ f_{b}(t)]+ \mathcal{L}[ f_{c}(t)]\\
\mathcal{L}[ f_{c}^{\prime\prime}(t)]= \mathcal{L}[ f_{b}(t)]-2 \mathcal{L}[ f_{c}(t)]
\end{cases}\\
\Downarrow\\
\begin{cases}
s^{2}F_{a}(s)-sf_{a}(0)-f_{a}'(0)=-2F_{a}(s)+F_{b}(s)\\
s^{2}F_{b}(s)-sf_{b}(0)-f_{b}'(0)=F_{a}(s)-2F_{b}(s)+F_{c}(s)\\
s^{2}F_{c}(s)-sf_{c}(0)-f_{c}'(0)=F_{b}(s)-2F_{c}(s)
\end{cases} \\
\Downarrow\\
\begin{cases}
s^{2}F_{a}(s)+Ls=-2F_{a}(s)+F_{b}(s)\\
s^{2}F_{b}(s)=F_{a}(s)-2F_{b}(s)+F_{c}(s)\\
s^{2}F_{c}(s)-Ls=F_{b}(s)-2F_{c}(s)
\end{cases} \\
\Downarrow\\
\begin{cases}
(s^{2}+2)F_{a}(s)-F_{b}(s)=-Ls\\
-F_{a}(s)+(s^{2}+2)F_{b}(s)-F_{c}(s)=0\\
-F_{b}(s)+(s^{2}+2)F_{c}(s)=Ls
\end{cases}\label{renritu1}\tag{5}
\end{gather}

となる。

　(\ref{renritu1})を解くと

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{F_{a}(s)=-L\frac{s}{s^{2}+2}}\\
F_{b}(s)=0\\
\displaystyle{ F_{c}(s)=L\frac{s}{s^{2}+2}}
\end{cases}\label{renritu2}\tag{6}
\end{align}

となる。

(\ref{renritu2})の導出

　(\ref{renritu1})の第2式に第1式と第3式を代入して整理すると

\begin{gather}
-\frac{F_{b}(s)-Ls}{s^{2}+2}+(s^{2}+2)F_{b}(s)-\frac{F_{b}(s)+Ls}{s^{2}+2}=0\\
-F_{b}(s)+Ls+(s^{2}+2)^{2}F_{b}(s)-F_{b}(s)-Ls=0\\
-F_{b}(s)+(s^{2}+2)^{2}F_{b}(s)-F_{b}(s)=0\\
F_{b}(s)=0\label{fbs}\tag{a1}
\end{gather}

となる。

　よって(\ref{fbs})を(\ref{renritu1})の第1式と第3式に代入して整理すれば(\ref{renritu2})が求められる。

　よって(\ref{renritu2})をラプラス逆変換すると、

\begin{gather}
\begin{cases}
\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}[F_{a}(s)]=-L \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^{2}+2}\right]}\\
\mathcal{L}^{-1} [F_{b}(s)]=0\\
\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1} [F_{c}(s)]=L \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^{2}+2}\right]}
\end{cases}\\
\Downarrow\\
\begin{cases}
\displaystyle{f_{a}(t)=-L\cos(\sqrt{2}\,t)}\\
f_{b}(t)=0\\
\displaystyle{f_{c}(t)=L\cos(\sqrt{2}\,t)}
\end{cases}
\end{gather}

となる。

　よって解は\(\boxed{ f_{a}(t)=-L\cos(\sqrt{2}\,t) , f_{b}(t)=0 , f_{c}(t)=L\cos(\sqrt{2}\,t) }\)となる。

4. 終わりに

　本記事では定数係数の常微分方程式のみの解説に留めたが、変数係数の常微分方程式や、熱伝導方程式などの偏微分方程式、積分方程式でもラプラス変換は威力を発揮する。

　余裕があればこの辺りの問題も扱ってみようと思う。

　END