【行列】逆行列とディターミナント③～連立1次方程式への応用～

　前回

からの続き。

　今回は応用編。
　とは言っても、内容を端的に言うと「連立1次方程式を行列を使って楽に解いてみよう」という話だ。

一般論

　$x_{1},x_{2},\cdots,x_{d}$を変数とする連立1次方程式

$$\begin{align} \begin{cases} a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots+a_{1,d}x_{d}=p_{1}\\ a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots+a_{2,d}x_{d}=p_{2}\\ \qquad\qquad\qquad\quad\vdots \\ a_{d,1}x_{1}+a_{d,2}x_{2}+\cdots+a_{d,d}x_{d}=p_{d}\\ \end{cases}\tag{1}\label{renritu1} \end{align}$$

を考える。これを下記のように、行列とベクトルを使って書き直す。

$$\begin{align} \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}& \cdots & a_{1,d} \\ a_{2,1}& a_{2,2}&\cdots&a_{2,d}\\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ a_{d,1}&a_{d,2}&\cdots&a_{d,d} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\x_{2}\\ \vdots\\x_{d} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p_{1}\\ p_{2}\\ \vdots\\ p_{d} \end{pmatrix}\qquad\Longrightarrow\qquad \mathsf{A}\vec{x}=\vec{p} \tag{2}\label{renritu2} \end{align}$$

　よって行列$\mathsf{A}$の逆行列を$\mathsf{A}^{-1}$として、($\ref{renritu2}$)の両辺に左側からかければ

$$\begin{gather} \mathsf{A}^{-1}\mathsf{A}\vec{x}=\mathsf{A}^{-1}\vec{p}\\ \mathsf{I}\vec{x}=\mathsf{A}^{-1}\vec{p}\\ \vec{x}=\mathsf{A}^{-1}\vec{p} \tag{3}\label{renritu3} \end{gather}$$

となり、逆行列$\mathsf{A}^{-1}$を$\vec{p}$に左側からかければ解を得ることができる。

　

　この解法の強みは、変数の数(方程式の数)に依存せず、逆行列さえ求めれば瞬時に答えに辿り着けるところにある。

　変数2つの連立1次方程式ではあまりありがたみを感じないかもしれないが、変数が3つの場合はこの解法がその威力を発揮する。

具体例

　実際に逆行列を利用して連立方程式を解いてみる。

　解答(1)

　連立方程式を行列とベクトルで書き直すと、

$$\begin{align} \begin{pmatrix} 6&5\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-7\\8\end{pmatrix}\qquad\Longrightarrow\qquad\mathsf{A}\vec{x}=\vec{p} \end{align}$$

と書ける。ここで行列$\mathsf{A}$の逆行列を求めると、

$$\begin{align} \mathsf{A}^{-1}=\frac{1}{-6-5}\begin{pmatrix} -1&-5\\ -1&6\\ \end{pmatrix}= \frac{1}{11}\begin{pmatrix} 1&5\\ 1&-6 \end{pmatrix} \end{align}$$

となるため、これを利用すると、

$$\begin{gather} \vec{x}=\mathsf{A}^{-1}\vec{p}\\ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix} 1&5\\ 1&-6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-7\\8\end{pmatrix}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix} -7+40\\ -7-48 \end{pmatrix}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}33\\-55\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix} \end{gather}$$

となる。よって、求める解は$x=3,y=-5$となる。

　

　解答(2)

　連立方程式を行列とベクトルで書き直すと、

$$\begin{align} \begin{pmatrix} -1&1&3\\ -7&8&6\\ 0&1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-6\\5\\-4\end{pmatrix}\qquad\Longrightarrow\qquad\mathsf{A}\vec{x}=\vec{p} \end{align}$$

と書ける。ここで行列$\mathsf{A}$の逆行列を求めると、

$$\begin{align} \mathsf{A}^{-1}=\frac{1}{17}\begin{pmatrix} -10&-1&18\\ -14&2&15\\ 7&-1&1 \end{pmatrix} \end{align}$$

となるため、これを利用すると、

$$\begin{gather} \vec{x}=\mathsf{A}^{-1}\vec{p}\\ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\frac{1}{17}\begin{pmatrix} -10&-1&18\\ -14&2&15\\ 7&-1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-6\\5\\-4\end{pmatrix}=\frac{1}{17}\begin{pmatrix} -17\\ 34\\ -51 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix} \end{gather}$$

となる。よって、求める解は$x=-1,y=2,z=-3$となる。

終わりに

　今回紹介した逆行列を応用した解法はあくまで解法の1つであって、毎回これを使う必要はない。
　うまい計算方法を見つけ出すのが早いか、何も考えずに逆行列を求めるのが早いか、それは問題によるだろうから、解きやすい方法で解けばよい。

　それでも、変数が4以上の場合は何も考えず逆行列を求めてしまった方が早いと思う。
　(前回紹介したガウスの消去法は任意のd次の正方行列で適用可能である。)

　

　次回は完全に暗記系の記事になるが、今後登場する特殊な行列を紹介しようと思う。

　

　END

　

　※追記
　今後必要な知識となる、特別な行列の記事を執筆。