【電磁気学】ガウスの法則③~例題:電荷分布が面対称な系~

電磁気学

 前回

の電荷分布が球対称な系に引き続き、今回は電荷分布が面対称な系を扱う。

ガウスの法則の積分形

\begin{align}
\iint_{S}\vec{E}(\vec{r},t)\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\iiint_{V}\rho(\vec{r},t)dV \label{gauss}\tag{1}
\end{align}

1つの無限平面上に分布した電荷が作る電場

 まずは最もシンプルな、1つの無限平面上に電荷が分布している場合を考えよう。

問題1

 \(z=0\)に位置する無限に広い平面上に、一様な電荷密度\(\sigma>0\)で電荷が分布している。
 このとき、平面が作る電場\(\vec{E}(\vec{r})\)を求めよ。

解説

 無限に広い平面上に電荷が一様に分布しているため、電場の方向は面に対して垂直であり、\(\sigma>0\)であるため向きは平面に対して外向きになる。

 よって閉曲面として、上面と底面が無限平面と平行な四角柱を設定する。
 ただし、四角柱の高さは\(2r\)であり、ちょうど半分の位置で無限平面をまたぐように置く。

「またいで」しまったら閉曲面(閉じた曲面)にならないのでは?と思うかもしれないが、平面には厚さは無いのでまたいでも問題ない。

 このとき上面と底面に関しては、電場の向きを示す単位ベクトル\(\vec{a}\)と閉曲面の法線ベクトル\(\vec{n}\)が一致する。
 具体的には、無限平面の上部での単位ベクトルと法線ベクトルをそれぞれ\(\vec{a}_{\text{up}},\vec{n}_{\text{up}}\)、無限平面の下部での単位ベクトルと法線ベクトルをそれぞれ\(\vec{a}_{\text{down}},\vec{n}_{\text{down}}\)として下記にようになる。

\begin{align}
&\vec{a}_{\text{up}}=\vec{n}_{\text{up}}=(0,0,1) \label{anup}\tag{2}\\
&\vec{a}_{\text{down}}=\vec{n}_{\text{down}}=(0,0,-1) \label{andown}\tag{3}
\end{align}

 側面については、\(\vec{a}\)と\(\vec{n}\)が垂直で\(\vec{a}\cdot\vec{n}=0\)となるから、ガウスの法則(\ref{gauss})の左辺が0になるので考慮する必要はない。

 準備ができたのでガウスの法則の計算に入る。

 まず、ガウスの法則(\ref{gauss})の左辺を計算する。
 上面を\(S_{\text{up}}\)、底面を\(S_{\text{down}}\)として、(\ref{anup})と(\ref{andown})を利用して

\begin{align}
\iint_{S}\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{S}&=\iint_{S_{\text{up}}}\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{S}+\iint_{S_{\text{down}}}\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{S} \\
&=\iint_{S_{\text{up}}}|\vec{E}(\vec{r})|\vec{a}_{\text{up}}\cdot \vec{n}_{\text{up}}dS+\iint_{S_{\text{down}}}|\vec{E}(\vec{r})|\vec{a}_{\text{down}}\cdot \vec{n}_{\text{down}}dS\\
&=|\vec{E}(\vec{r})|\iint_{S_{\text{up}}}dS+|\vec{E}(\vec{r})|\iint_{S_{\text{down}}}dS\\
&=|\vec{E}(\vec{r})|\cdot a^{2}+|\vec{E}(\vec{r})|\cdot a^{2}\\
&=2|\vec{E}(\vec{r})|a^{2} \label{左辺1}\tag{4}
\end{align}

となる。

 続いて右辺は、電荷が平面に存在することに留意して、体積積分を面積分に書き換えて、

\begin{align}
\frac{1}{\varepsilon_{0}}\iint_{S}\sigma dS=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\cdot a^{2}\sigma=\frac{a^{2}\sigma}{\varepsilon_{0}} \label{右辺1}\tag{5}
\end{align}

となる。

 よって(\ref{左辺1})と(\ref{右辺1})より

\begin{align}
|\vec{E}(\vec{r})|=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \tag{6}
\end{align}

となるため、求める電場は(\ref{anup})と(\ref{andown})を利用して

\begin{align}
\boxed{\vec{E}(\vec{r})=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}(0,0,1)} &(z>0)\\ \\
\displaystyle{-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}(0,0,1)} &(z<0)
\end{cases}} \label{toi1kai}\tag{7}
\end{align}

となる。

 この結果から、無限平面上に一様に分布する電荷が作る電場の大きさは、平面からの距離によらず一定であることがわかる。

2つの無限平面上に分布した電荷が作る電場

 上で挙げた無限平面を1つ追加した系も考えてみる。

問題2

 \(z=\pm\ell\)に位置する無限に広い平面上に、それぞれ一様な電荷密度\(\sigma_{1}>0,\)\(-\sigma_{2}<0\)で電荷が分布している。
 このとき、各平面が作る電場\(\vec{E}(\vec{r})\)を求めよ。

解説

 問題1の結果を利用する方法が最もお手軽だ。

 \(z=\ell\)に位置する平面が作る電場を\(\vec{E}_{1}(\vec{r})\)、\(z=-\ell\)に位置する平面が作る電場を\(\vec{E}_{2}(\vec{r})\)とすると、(\ref{toi1kai})より

\begin{align}
&\vec{E}_{1}(\vec{r})=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\sigma_{1}}{2\varepsilon_{0}}(0,0,1)} &(z>\ell)\\ \\
\displaystyle{-\frac{\sigma_{1}}{2\varepsilon_{0}}(0,0,1)} &(z<\ell)
\end{cases} \label{e1}\tag{8}\\ \\
&\vec{E}_{2}(\vec{r})=\begin{cases}
\displaystyle{-\frac{\sigma_{2}}{2\varepsilon_{0}}(0,0,1)} &(z>-\ell)\\ \\
\displaystyle{\frac{\sigma_{2}}{2\varepsilon_{0}}(0,0,1)} &(z<-\ell)
\end{cases} \label{e2}\tag{9}\\
\end{align}

となる。

 よって各領域で各平面が作る電場を足し合わせると、求める電場は

\begin{align}
\boxed{
\vec{E}(\vec{r})=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2\varepsilon_{0}}(0,0,1)} &(z>\ell)\\ \\
\displaystyle{-\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}}{2\varepsilon_{0}}(0,0,1)} &(-\ell<z<\ell)\\ \\
\displaystyle{-\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2\varepsilon_{0}}(0,0,1)} &(z<-\ell)
\end{cases}
} \tag{10}
\end{align}

となる。

補足

 ここで少し補足。

 問題文中に、条件として「無限に広い平面」とわざわざ明記しているが、実はこの条件は結構大事だったりする。

 もし広さが有限だったら、平面の端の電荷によって平面と垂直な方向以外の方向の電場が発生し、四角柱の閉曲面では対応できなくなる。

 そしてもし、電荷が分布しているのが厚さが無い平面ではなく、有限の厚さを持つ平板である場合、平板の表と裏それぞれの電荷分布を考えなければならない。
 さらに平板が導体板か絶縁板かで、表と裏の電荷の分布の仕方も異なってくる。

 「無限に広い平面」だからこそ、比較的簡単な計算で事なきを得ているのだ。

 余裕があれば導体板が登場する問題も扱ってみたいが、典型問題からは逸脱するのでここでは扱わない。

 

 電荷分布が面対称な系の問題はここでおしまい。

 最後に、電荷分布が円筒対称な系を見ていく。

 解き方が類似しているため、線状に分布している系も同時に取り上げる。

 

 続きはこちら。

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