【力学】壁に取り付けられたばね

　力学問題第2問は、単振動と運動量保存則のコラボレーション問題だ。

問題

　 壁からばね定数$k>0$のばねが垂直に立っており、その先端に質量$M$の球1が取り付けられている。
　ばねが自然長で静止しているとき、質量$M$の球2が速度$-V$で完全弾性衝突した。
　ただし$m<M$であり、両者は質点で空気抵抗と重力は考慮しないものとする。
　また図の右向きを正とする。

(a) 球1の初期位置を$x=0$として、衝突後の球1の運動を、縦軸を変位$x(t)$、横軸を時間$t$のグラフで示せ。
(b) 衝突後、球1が再び$x=0$に到達したところで、球2を再び同じ速度$-V$で衝突させた。この2回目の衝突後の球1の運動を、(a)で得たグラフに続けて示せ。

解答 (a)

　衝突後、球1に外力を加えるのはばねのみである。よって時間を$t$とすると運動方程式は

$$\begin{align} M\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx \tag{1}\label{1} \end{align}$$

と書ける。($\ref{1}$)は二階の常微分方程式であり、その一般解は任意定数を$A_{1},B_{1}$として、

$$\begin{align} x(t)=A_{1}\cos(\omega t)+B_{1}\sin(\omega t) \tag{2}\label{2} \end{align}$$

となる。ただし$\omega=\sqrt{k/M}$である。

　この2つの任意定数$A_{1},B_{1}$を求めることができれば球1の運動を記述できる。任意定数を求める際に使うのは初期条件(束縛条件)である。初期位置は$x=0$であるため、

$$\begin{gather} x(0)=A_{1}\cos(\omega\times 0)+B_{1}\sin(\omega\times 0) \\ x(0)=A_{1}=0 \tag{3}\label{3} \end{gather}$$

となり、$A_{1}=0$であることがわかる。続いて$B_{1}$だが、これは初速度を使って求める。変位を時間で微分すれば速度になるため、球1の速度$v(t)$は

$$\begin{align} v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=B_{1}\omega\cos(\omega t) \tag{4}\label{4} \end{align}$$

となる。ただし$A_{1}=0$を利用した。よって($\ref{4}$)に$t=0$を代入すれば

$$\begin{align} v(0)=B_{1}\omega\cos(\omega\times 0)=B_{1}\omega \tag{5}\label{5} \end{align}$$

となり$B_{1}=v(0)/\omega$であることがわかる。

　後は初速度$v(0)$を求めればよい。初速度$v(0)$は運動量保存則と反発係数の定義式から求められる。衝突後の球2の速度を$v_{m}$とすると、

$$\begin{gather} M\cdot 0+m(-V)=Mv(0)+mv_{m} \tag{6}\label{6}　\\ 1=-\frac{v(0)-v_{m}}{0-(-V)} \tag{7}\label{7} \end{gather}$$

が成立する。($\ref{6}$)と($\ref{7}$)は連立方程式であり、これを$v(0)$について解くと

$$\begin{align} v(0)=-\frac{2m}{m+M}V \tag{8}\label{8} \end{align}$$

となる。よって($\ref{8}$)より

$$\begin{align} B_{1}=-\frac{2m}{(m+M)\omega}V \tag{9} \end{align}$$

と求められる。

　以上より、球1の変位はおよび速度は

$$\begin{align} x(t)&=-\frac{2mV}{m+M}\sqrt{\frac{M}{k}}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{M}}t\right) \tag{10}\label{10} \\ v(t)&=-\frac{2mV}{m+M}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{M}}t\right) \tag{11}\label{11} \end{align}$$

と求められ、($\ref{10}$)をグラフ化すると下図のようになる。

解答 (b)

　基本的にやることは(a)と同じだが、初速度が異なることに注意が必要である。

　(a)の運動後に球1が再び$x=0$を通過するのは$t=t_{1}=\pi\sqrt{M/k}$のときであるため、2回目の衝突直前の球1の速度は($\ref{11}$)より

$$\begin{align} v(t_{1})=\frac{2m}{m+M}V \tag{12}\label{12} \end{align}$$

となる。これを利用すると、2回目の衝突直後の球1と球2の速度をそれぞれ$v’_{M},v’_{m}$として、運動量保存則と反発係数の定義式より

$$\begin{gather} Mv(t_{1})+m(-V)=Mv’_{M}+mv’_{m} \tag{13}\label{13} \\ 1=-\frac{v’_{M}-v’_{m} }{v(t_{1})-(-V)} \tag{14}\label{14} \end{gather}$$

が成立する。これらを$v’_{M}$について解くと、

$$\begin{align} v’_{M}=-\left(\frac{2m}{m+M}\right)^{2}V \tag{15}\label{15} \end{align}$$

となる。

　運動方程式は($\ref{1}$)と同じであるため、任意定数を$A_{2},B_{2}$と置くと、球1の変位と速度は

$$\begin{align} x(t)&=A_{2}\cos(\omega t)+B_{2}\sin(\omega t) \tag{16}\label{16} \\ v(t)&=\frac{d}{dt}x(t)=-A_{2}\omega\sin(\omega t)+B_{2}\omega\cos(\omega t) \tag{17}\label{17} \end{align}$$

と書ける。(a)と同様に束縛条件$x(t_{1})=0,v(t_{1})=v’_{M}$を使て$A_{2},B_{2}$を求めると、

$$\begin{align} A_{2}&=0 \tag{18}\label{18} \\ B_{2}&=\left(\frac{2m}{m+M}\right)^{2}\sqrt{\frac{M}{k}}V \tag{19}\label{19} \end{align}$$

となる。

　以上より、2回目の衝突以降の球1の変位および速度は

$$\begin{align} x(t)&=\left(\frac{2m}{m+M}\right)^{2}\sqrt{\frac{M}{k}}V\sin\left(\sqrt{\frac{k}{M}}t\right) \tag{20}\label{20} \\ v(t)&=\left(\frac{2m}{m+M}\right)^{2}V\cos\left(\sqrt{\frac{k}{M}}t\right) \tag{21}\label{21} \end{align}$$

と求められ、($\ref{20}$)をグラフ化すると下図のようになる。

最後に

　高校物理では「ばねの単振動の角周波数は$\sqrt{k/m}$、単振り子の角周波数は$\sqrt{g/\ell}$」と丸暗記させられていた。

　高校時代の先生は
「ばねは『下からミカン($k/m$)』、単振り子は『下からリンゴ($g/\ell$)』と覚えなさい」
と教わったけど、結局「上からだっけ、下からだっけ？」とそこから迷ってしまい、役に立った経験がない。

　初めて微分方程式で単振動の問題を解いたときに
「もう角周波数の中身まで覚える必要ないんだ！」
と感動したものだ。
　(というか実際は次元計算が身につけば、それでもう自力で角周波数だけ導けるんだけど。)

　とりあえず力学の問題解説は一旦ここで区切りをつけようと思う。

　また面白い問題、よくできている問題があったら順次解説していきたい。

　

　END