【解析力学】3質点の連成振動～オイラー・ラグランジュ方程式の利用例～①

　前回

にてオイラー・ラグランジュ方程式を導入したが、今回はその応用例を見ていく。

　以前扱った2質点の連成振動を3質点に拡張してみよう。

問題

　下図のように、質量\(m\)の3つの球が自然長の4つのばねにつながれ、両端のばねが壁に取り付けられている。
　それぞれ自然長の位置を基準に、図の左側の球の変位を\(x_{\text{a}}\)、中央の球の変位を\(x_{ \text{b} }\)、右側の変位を\(x_{\text{c}}\)とする。
　3つの球は質点とし、4つのばねのばね定数はすべて\(k>0\)とする。
　また、重力、空気抵抗、床との摩擦は考慮しなくてよい。

　(1)　各球に関する運動方程式を立てよ。

　(2)　\(\vec{x}(t) =(x_{\text{a}}(t), x_{\text{b}}(t),x_{\text{c}}(t) ) ^{\text{T}} \)と置き、(1)で求めた3つの運動方程式を

\begin{align}
m\frac{d^{2}}{dt^{2}}\vec{x}(t)=-k\,\mathsf{A}\,\vec{x}(t) \tag{Q1}\label{Aundou}
\end{align}

の形にまとめ、行列\(\mathsf{A}\)を対角化せよ。

　(3)　\( x_{\text{a}}(t), x_{\text{b}}(t),x_{\text{c}}(t) \)の一般解を求めよ。

　(4)　初期条件が下記のとき、3つの球の変位の時間変化\(x_{ \text{a} }(t), x_{ \text{b} }(t), x_{ \text{c}}(t) \)をそれぞれ求めよ。
　(i)　\(x_{ \text{a}}(0)=-L<0,\quad x_{ \text{b}}(0)=0,\quad x_{ \text{c}}(0)= L>0,\)
　　　\(\displaystyle{\left.\frac{dx_{\text{a}}(t)}{dt}\right|_{t=0}= \left.\frac{dx_{\text{b}}(t)}{dt}\right|_{t=0}= \left.\frac{dx_{\text{c}}(t)}{dt}\right|_{t=0}= 0}\)
　(ii)　\(x_{ \text{a}}(0)=x_{ \text{b}}(0)= x_{ \text{c}}(0)= 0, \quad\displaystyle{\left.\frac{dx_{\text{a}}(t)}{dt}\right|_{t=0}}=V>0,\quad\displaystyle{\left.\frac{dx_{\text{b}}(t)}{dt}\right|_{t=0}=\left.\frac{dx_{\text{c}}(t)}{dt}\right|_{t=0}}=0\)

解答(1)

　3つの球の運動方程式をオイラー・ラグランジュ方程式を使って導く。

　系の全運動エネルギー\(T\)は、球a,b,cそれぞれの速度を\(v_{\text{a}}, v_{\text{b}}, v_{\text{c}}\)として

\begin{align}
T=\frac{1}{2}mv_{\text{a}}^{2}+ \frac{1}{2}mv_{\text{b}}^{2}+ \frac{1}{2}mv_{\text{c}}^{2}=\frac{1}{2}m( v_{\text{a}}^{2}+v_{\text{b}}^{2}+ v_{\text{c}}^{2}) \tag{1-1}\label{undoue}
\end{align}

となる。
　続いて、系の全ポテンシャルエネルギー\(U\)は、4つのばねの弾性エネルギーの総和であるため、

\begin{align}
U=\frac{1}{2}kx_{\text{a}}^{2}+ \frac{1}{2}k(x_{\text{a}}- x_{\text{b}}) ^{2}+ \frac{1}{2}k(x_{\text{b}}- x_{\text{c}}) ^{2} + \frac{1}{2}kx_{\text{c}}^{2} \tag{1-2}\label{potene}
\end{align}

となる。
　(\ref{undoue})と(\ref{potene})より、この系のラグランジアン\(L=T-U\)は

\begin{align}
L=\frac{1}{2}m( v_{\text{a}}^{2}+v_{\text{b}}^{2}+ v_{\text{c}}^{2})- \frac{1}{2}kx_{\text{a}}^{2}-\frac{1}{2}k(x_{\text{a}}- x_{\text{b}}) ^{2}-\frac{1}{2}k(x_{\text{b}}- x_{\text{c}}) ^{2}-\frac{1}{2}kx_{\text{c}}^{2} \tag{1-3}\label{lag}
\end{align}

となる。

　このラグランジアン\(L\)の速度及び変位の偏微分を予め求めておくと下記のようになる。

\begin{align}
&\frac{\partial L}{\partial v_{\text{a}}}=mv_{\text{a}} \tag{1-4}\label{vahenbi}\\
&\frac{\partial L}{\partial v_{\text{b}}}=mv_{\text{b}} \tag{1-5}\label{vbhenbi}\\
&\frac{\partial L}{\partial v_{\text{c}}}=mv_{\text{c}} \tag{1-6}\label{vchenbi}\\
&\frac{\partial L}{\partial x_{\text{a}}}=-kx_{\text{a}}-k(x_{\text{a}}-x_{\text{b}}) \tag{1-7}\label{xahenbi}\\
&\frac{\partial L}{\partial x_{\text{b}}}=k(x_{\text{a}}-x_{\text{b}})-k(x_{\text{b}}-x_{\text{c}})\tag{1-8}\label{xbhenbi}\\
&\frac{\partial L}{\partial x_{\text{c}}}=k(x_{\text{b}}-x_{\text{c}})-kx_{\text{c}}\tag{1-9}\label{xchenbi}\\
\end{align}

　よって球a,b,cそれぞれに関するオイラー・ラグランジュ方程式から、それぞれの運動方程式は

\begin{gather}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{\text{a}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_{\text{a}}}=0 \\
\frac{d}{dt} mv_{\text{a}}-\left\{ -kx_{\text{a}}-k(x_{\text{a}}-x_{\text{b}}) \right\}=0 \\
m\frac{d^{2}x_{\text{a}}}{dt^{2}}=-kx_{\text{a}}-k(x_{\text{a}}-x_{\text{b}}) \tag{1-10}\label{undoa}
\end{gather}

\begin{gather}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{\text{b}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_{\text{b}}}=0 \\
\frac{d}{dt} mv_{\text{b}}-\left\{ k(x_{\text{a}}-x_{\text{b}})-k(x_{\text{b}}-x_{\text{c}}) \right\}=0 \\
m\frac{d^{2}x_{\text{b}}}{dt^{2}}=k(x_{\text{a}}-x_{\text{b}})-k(x_{\text{b}}-x_{\text{c}}) \tag{1-11}\label{undob}
\end{gather}

\begin{gather}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{\text{c}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_{\text{c}}}=0 \\
\frac{d}{dt} mv_{\text{c}}-\left\{ k(x_{\text{b}}-x_{\text{c}})-kx_{\text{c}} \right\}=0 \\
m\frac{d^{2}x_{\text{c}}}{dt^{2}}= k(x_{\text{b}}-x_{\text{c}})-kx_{\text{c}} \tag{1-12}\label{undoc}
\end{gather}

と求められる。
　以上、(\ref{undoa})～(\ref{undoc})をまとめると、

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle{ m\frac{d^{2}x_{\text{a}}(t)}{dt^{2}}=-kx_{\text{a}} (t) -k\{x_{\text{a}} (t) -x_{\text{b}} (t) \} } \\
\displaystyle{ m\frac{d^{2}x_{\text{b}} (t) }{dt^{2}}=k\{x_{\text{a}} (t) -x_{\text{b}} (t) \}-k\{x_{\text{b}} (t) -x_{\text{c}} (t) \} } \\
\displaystyle{ m\frac{d^{2}x_{\text{c}} (t) }{dt^{2}}= k\{x_{\text{b}} (t) -x_{\text{c}} (t) \}-kx_{\text{c}} (t) } \\
\end{cases}\tag{1-13}\label{undoumatome}
\end{align}

となる。

　

　②に続く。