【電子回路】節点解析

　前回

複雑な回路を解析する際、キルヒホッフの法則を逐一立てて連立方程式を解く方法は時間がかかる。　しかし、連立方程式を行列表示することができれば見通し良く解析することができる。　本記事では、この行列表示を利用する2つの閉回路の解析手法について...

の続き。

　今回は閉回路の節点に着目して回路を解析する手法である節点解析について見ていく。

概要
例題1
例題2
終わりに

概要

　節点解析(ノード解析、節点電位法)は回路内の節点(ノード)に着目して解析する手法である。

　手順は下記の通り。

回路内にある節点をすべて列挙し、その中の1つを基準節点(電位0)とする。
基準節点を除いた節点の数を\(n\)とし、\(n\times n\)の行列\(\mathsf{Y}\)を下記のように立てる。
(1)対角成分に節点と接続されている素子のアドミタンスの総和を入れる。
(2)非対角成分に2つの節点間に位置する素子のアドミタンスを符号を反転させて入れる。
\begin{align}&\qquad\qquad\;\;\boxed{\begin{matrix}1\quad\, & 2 \quad\, &\cdots &n\end{matrix}}\notag \\&\mathsf{Y}=\boxed{\begin{matrix}1\\2\\ \vdots \\n\end{matrix}}\begin{pmatrix}Y_{1,1}&Y_{1,2}&\cdots&Y_{1,n}\\Y_{2,1}&Y_{2,2}&\cdots&Y_{2,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\Y_{n,1}&Y_{n,2}&\cdots&Y_{n,n}\end{pmatrix} \\ &\begin{cases}Y_{k,k}(k=1,2,…,n):\text{節点}k\text{に接続されている素子のアドミタンスの総和}\\Y_{i,j}=Y_{j,i}(i\neq j):\text{節点}i,j\text{の間に位置する素子のアドミタンスの符号反転値}\end{cases}\end{align}
節点の電位を並べた縦ベクトル\(\vec{V}\)に行列\(\mathsf{Y}\)をかける。
ただし節点に電圧源が接続されている場合は、対応するベクトルの成分を電圧源の起電力と同値にする。
符号は、節点が電圧源の正極側に接続されていたら正、負極側に接続されていたら負とする。
\begin{align}\mathsf{Y}\vec{V}=\begin{pmatrix}Y_{1,1}&Y_{1,2}&\cdots&Y_{1,n}\\Y_{2,1}&Y_{2,2}&\cdots&Y_{2,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\Y_{n,1}&Y_{n,2}&\cdots&Y_{n,n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\ \vdots \\v_{n}\end{pmatrix}\quad v_{k}(k=1,2,…,n):\text{節点}k\text{の電位}\end{align}
節点と接続されている電流源から流れる電流を並べた縦ベクトル\(\vec{J}\)を\(\mathsf{Y}\vec{V}\)と等号で結ぶ。
符号は節点に向かって電流が入る場合は正、逆に出ていく場合は負とする。
ただし節点に電圧源が接続されている場合は、形式的に電圧源を電流源とみなし、対応するベクトルの成分に形式的に電圧源の電流を入れる。
符号は、節点が電圧源の正極側に接続されていたら正、負極側に接続されていたら負とする。
\begin{align}&\mathsf{Y}\vec{V}=\vec{J}\notag \\&\begin{pmatrix}Y_{1,1}&Y_{1,2}&\cdots&Y_{1,n}\\Y_{2,1}&Y_{2,2}&\cdots&Y_{2,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\Y_{n,1}&Y_{n,2}&\cdots&Y_{n,n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\ \vdots \\v_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_{1}\\J_{2}\\ \vdots \\J_{n}\end{pmatrix}\notag \\&J_{k}(k=1,2,…,n):\text{節点}k\text{に接続されているの電流源が流す電流}\end{align}
方程式\(\mathsf{Y}\vec{V}=\vec{J}\)を解く。

　方程式\(\mathsf{Y}\vec{V}=\vec{J}\)を節点方程式と呼び、行列\(\mathsf{Y}\)を節点アドミタンス行列と呼ぶ。

　ここでは\(\vec{V}\)が未知の行列であるため、\(\mathsf{Y}\)の逆行列\(\mathsf{Y}^{-1}\)を求めることができれば\(\vec{V}=\mathsf{Y}^{-1}\vec{J}\)となって\(\vec{V}\)を求めることができる。

例題1

　上述の解説だけではイメージが掴めないと思うので、例題を交えて実際の使い方を見ていく。

例題1

　図1の回路の抵抗\(R_{1}\)に流れる電流\(i_{1}\)、抵抗\(R_{4}\)にかかる電圧\(v_{4}\)を節点解析を利用してそれぞれ求めよ。

　ただし\(E\)は直流電圧源、\(J\)は直流電流源であり、\(R_{k}=2\,\Omega(k=1,2,3,4),\,E=24\,\text{V},\,J=1\,\text{A}\)である。

　また\(v_{4}\)については矢印の向きとは逆向きに電圧降下があるとする。

解答

　各抵抗のコンダクタンスを\(G_{k}=1/R_{k}(k=1,2,3,4)\)とする。

　回路内には節点が4つ存在する。

　それぞれ\(a,b,c,d\)とし、\(d\)を基準節点とする(図2参照)。

　基準節点以外の節点は3つなので、\(3\times 3\)の節点アドミタンス行列\(\mathsf{Y}\)を立てる。

　まず、各節点と\(\mathsf{Y}\)の行と列を次式のように紐づけする。

\begin{align}
&\quad\,\boxed{\begin{matrix}a\quad\, & b \quad\, &c\end{matrix}}\notag \\
\mathsf{Y}=\boxed{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}&\begin{pmatrix}Y_{1,1}&Y_{1,2}&Y_{1,3}\\
Y_{2,1}&Y_{2,2}&Y_{2,3}\\
Y_{3,1}&Y_{3,2}&Y_{3,3}
\end{pmatrix}
\end{align}

　次に、各節点と接続されている素子のアドミタンスの総和を、各節点で紐づけされた対角成分に入れる。

　例えば\(Y_{1,1}\)には節点\(a\)が紐づけされているので、節点\(a\)と接続されている素子のアドミタンスの総和を\(Y_{1,1}\)に入れる。

\begin{align}
&\quad\quad\boxed{\begin{matrix}a\qquad\qquad\, & b \qquad\qquad &c\end{matrix}}\notag \\
\mathsf{Y}=\boxed{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}&\begin{pmatrix}G_{1}+G_{2}&Y_{1,2}&Y_{1,3}\\
Y_{2,1}&G_{2}+G_{4}&Y_{2,3}\\
Y_{3,1}&Y_{3,2}&G_{1}+G_{3}+G_{4}
\end{pmatrix}
\end{align}

　次に、2つの節点の間に位置する素子のアドミタンスを、各節点で紐づけされた非対角成分に符号を反転させて入れる。

　例えば\(Y_{1,2},\,Y_{2,1}\)には、節点\(a,b\)間に位置する素子である\(R_{2}\)のコンダクタンス\(G_{2}\)の符号を反転させて入れる。

\begin{align}
&\quad\quad\boxed{\begin{matrix}a\qquad\qquad\, & b \qquad\qquad &c\end{matrix}}\notag \\
\mathsf{Y}=\boxed{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}&\begin{pmatrix}G_{1}+G_{2}&-G_{2}&-G_{1}\\
-G_{2}&G_{2}+G_{4}&-G_{4}\\
-G_{1}&-G_{4}&G_{1}+G_{3}+G_{4}
\end{pmatrix}
\end{align}

　これで\(\mathsf{Y}\)は完成である。

　続いて、節点の電位を並べた縦ベクトル\(\vec{V}\)を立てる。

　成分を並べる順番は、\(\mathsf{Y}\)に則る。

\begin{align}
\vec{V}=\begin{pmatrix}v_{a}\\ v_{b}\\v_{c}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E\\ v_{b}\\v_{c}\end{pmatrix}
\end{align}

　今回は節点\(a\)に電圧源\(E\)の正極側が接続されており、負極は接地されているため\(v_{a}=E\)とする。

　続いて、節点と接続されている電流源が流す電流を並べた縦ベクトル\(\vec{J}\)を立てる。

　成分を並べる順番は、\(\mathsf{Y}\)に則る。

\begin{align}
\vec{J}=\begin{pmatrix}J_{E}\\J\\-J\end{pmatrix}
\end{align}

　節点\(b,c\)には電流源\(J\)が接続されており、節点\(b\)には電流源の電流が流れ込んでいるため符号は正、節点\(c\)には電流源の電流が出ていく向きに流れているため符号は負となる。

　また、節点\(a\)には電圧源\(E\)があるため、形式的に電圧源\(E\)を電流源\(J_{E}\)とみなす。

　節点\(a\)は電圧源\(E\)の正極側と接続しているため、符号は正となる。

　よって\(\mathsf{Y}\vec{V}\)と\(\vec{J}\)を等号で結べば節点方程式が完成する。

\begin{gather}
\mathsf{Y}\vec{V}=\vec{J} \notag \\
\begin{pmatrix}G_{1}+G_{2}&-G_{2}&-G_{1}\\
-G_{2}&G_{2}+G_{4}&-G_{4}\\
-G_{1}&-G_{4}&G_{1}+G_{3}+G_{4}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E\\ v_{b}\\v_{c}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_{E}\\J\\-J\end{pmatrix}
\end{gather}

ここで値を代入すると

\begin{align}
\begin{pmatrix}1&-1/2&-1/2\\
-1/2&1&-1/2\\
-1/2&-1/2&3/2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}24\\ v_{b}\\v_{c}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_{E}\\1\\-1\end{pmatrix}\label{節点解析例式1}\tag{1}
\end{align}

となる。

　求めるべき未知量が\(v_{b},v_{c}\)の2つとなったため、(\ref{節点解析例式1})を次のように簡素化する。

\begin{align}
\begin{pmatrix}1&-1/2\\ -1/2&3/2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{b}\\ v_{c}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\ 11\end{pmatrix}\label{節点解析例式2}\tag{2}
\end{align}

　(\ref{節点解析例式2})を解くと、

\begin{align}
\begin{pmatrix}v_{b}\\ v_{c}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1&-1/2\\ -1/2&3/2\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}13\\ 11\end{pmatrix} \notag \\
&=\frac{1}{(3/2)-(1/4)}\begin{pmatrix}3/2&1/2\\ 1/2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13\\ 11\end{pmatrix}\notag \\
&=\frac{2}{5}\begin{pmatrix}3&1\\ 1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13\\ 11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\ 14\end{pmatrix}\label{節点解析例式3}\tag{3}
\end{align}

となる。

　最後に(\ref{節点解析例式3})の結果から\(i_{1},v_{4}\)を求める。

　\(i_{1}\)については、節点\(a\)から節点\(c\)に向かう向きに流れているため

\begin{align}
&i_{1}=\frac{v_{a}-v_{c}}{R_{1}}=\frac{24-14}{2}=5\,\text{A}
\end{align}

となる。

　また\(v_{4}\)については、矢印とは逆向きに電圧降下があるとしているため、\(R_{4}\)を流れる電流は節点\(b\)から節点\(c\)に向かう向きに流れる。

　よって

\begin{align}
v_{4}=v_{b}-v_{c}=20-14=6\,\text{V}
\end{align}

となる。

　以上より\(\boxed{i_{1}=5\,\text{A},\,v_{4}=6\,\text{V}}\)となる。

例題2

例題2

　図3の回路の抵抗\(R_{1}\)に流れる電流\(i_{1}\)、抵抗\(R_{6}\)にかかる電圧\(v_{6}\)を節点解析を利用してそれぞれ求めよ。

　ただし\(E\)は直流電圧源であり、\(R_{1,2}=1\,\Omega,\,R_{3,4,5,6,7}=2\,\Omega,\,E=10\,\text{V}\)である。

　また\(v_{6}\)については矢印の向きとは逆向きに電圧降下があるとする。

解説

　各抵抗のコンダクタンスを\(G_{k}=1/R_{k}(k=1,2,…,7)\)とする。

　回路内には節点が5つ存在する。

　それぞれ\(a,b,c,d,e\)とし、\(d\)を基準節点とする(図4参照)。

　基準節点以外の節点は4つなので、\(4\times 4\)の節点アドミタンス行列\(\mathsf{Y}\)を立てる。

　まず、各節点と\(\mathsf{Y}\)の行と列を次式のように紐づけする。

\begin{align}
&\quad\,\boxed{\begin{matrix}a\quad\, & b \quad\, &c\quad\,&e\end{matrix}}\notag \\
\mathsf{Y}=\boxed{\begin{matrix}a\\b\\c\\e\end{matrix}}&\begin{pmatrix}Y_{1,1}&Y_{1,2}&Y_{1,3}&Y_{1,4}\\
Y_{2,1}&Y_{2,2}&Y_{2,3}&Y_{2,4}\\
Y_{3,1}&Y_{3,2}&Y_{3,3}&Y_{3,4}\\
Y_{4,1}&Y_{4,2}&Y_{4,3}&Y_{4,4}
\end{pmatrix}
\end{align}

　次に、各節点と接続されている素子のアドミタンスの総和を、各節点で紐づけされた対角成分に入れる。

　例えば\(Y_{1,1}\)には節点\(a\)が紐づけされているので、節点\(a\)と接続されている素子のアドミタンスの総和を\(Y_{1,1}\)に入れる。

\begin{align}
&\qquad\boxed{\begin{matrix}a\;\;\qquad\qquad & b \qquad\qquad\quad\;\; &c\quad\qquad\qquad\qquad&e\end{matrix}}\notag \\
\mathsf{Y}=\boxed{\begin{matrix}a\\b\\c\\e\end{matrix}}&\begin{pmatrix}G_{3}+G_{5}&Y_{1,2}&Y_{1,3}&Y_{1,4}\\
Y_{2,1}&G_{1}+G_{5}+G_{6}&Y_{2,3}&Y_{2,4}\\
Y_{3,1}&Y_{3,2}&G_{2}+G_{6}+G_{7}&Y_{3,4}\\
Y_{4,1}&Y_{4,2}&Y_{4,3}&G_{1}+G_{2}+G_{3}+G_{4}
\end{pmatrix}
\end{align}

　次に、2つの節点の間に位置する素子のアドミタンスを、各節点で紐づけされた非対角成分に符号を反転させて入れる。

　例えば\(Y_{1,2},\,Y_{2,1}\)には、節点\(a,b\)間に位置する素子である\(R_{2}\)のコンダクタンス\(G_{2}\)の符号を反転させて入れる。

\begin{align}
&\qquad\boxed{\begin{matrix}a\;\;\qquad\qquad & b \qquad\qquad\quad\;\; &c\quad\qquad\qquad\qquad&e\end{matrix}}\notag \\
\mathsf{Y}=\boxed{\begin{matrix}a\\b\\c\\e\end{matrix}}&\begin{pmatrix}G_{3}+G_{5}&-G_{5}&0&-G_{3}\\
-G_{5}&G_{1}+G_{5}+G_{6}&-G_{6}&-G_{1}\\
0&-G_{6}&G_{2}+G_{6}+G_{7}&-G_{2}\\
-G_{3}&-G_{1}&-G_{2}&G_{1}+G_{2}+G_{3}+G_{4}
\end{pmatrix}
\end{align}

　これで\(\mathsf{Y}\)は完成である。

　続いて、節点の電位を並べた縦ベクトル\(\vec{V}\)を立てる。成分を並べる順番は、\(\mathsf{Y}\)に則る。

\begin{align}
\vec{V}=\begin{pmatrix}v_{a}\\ v_{b}\\v_{c}\\v_{e}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E\\ v_{b}\\v_{c}\\v_{e}\end{pmatrix}
\end{align}

　今回は節点\(a\)に電圧源\(E\)の正極側が接続されており、負極は接地しているため\(v_{a}=E\)とする。

　続いて、節点と接続されている電流源が流す電流を並べた縦ベクトル\(\vec{J}\)を立てる。

　成分を並べる順番は、\(\mathsf{Y}\)に則る。

\begin{align}
\vec{J}=\begin{pmatrix}J_{E}\\0\\0\\0\end{pmatrix}
\end{align}

　本回路内には電流源は無い。

　しかし、節点\(a\)には電圧源\(E\)があるため、形式的に電圧源\(E\)を電流源\(J_{E\))とみなす。

　節点\(a\)は電圧源\(E\)の正極側と接続しているため、符号は正となる。

　よって\(\mathsf{Y}\vec{V}\)と\(\vec{J}\)を等号で結べば節点方程式が完成する。

\begin{gather}
\mathsf{Y}\vec{V}=\vec{J} \notag \\
\begin{pmatrix}G_{3}+G_{5}&-G_{5}&0&-G_{3}\\
-G_{5}&G_{1}+G_{5}+G_{6}&-G_{6}&-G_{1}\\
0&-G_{6}&G_{2}+G_{6}+G_{7}&-G_{2}\\
-G_{3}&-G_{1}&-G_{2}&G_{1}+G_{2}+G_{3}+G_{4}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E\\ v_{b}\\v_{c}\\v_{e}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_{E}\\0\\0\\0\end{pmatrix}
\end{gather}

　ここで値を代入すると

\begin{align}
\begin{pmatrix}1&-1/2&0&-1/2\\
-1/2&2&-1/2&-1\\
0&-1/2&2&-1\\
-1/2&-1&-1&3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\ v_{b}\\v_{c}\\v_{e}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_{E}\\0\\0\\0\end{pmatrix}\label{節点解析例式2-1}\tag{4}
\end{align}

となる。

　求めるべき未知量が\(v_{b},v_{c},v_{e}\)の3つとなったため、(\ref{節点解析例式2-1})を次のように簡素化する。

\begin{align}
\begin{pmatrix}2&-1/2&-1\\ -1/2&2&-1\\
-1&-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{b}\\ v_{c}\\v_{e}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\ 0\\5\end{pmatrix}\label{節点解析例式2-2}\tag{5}
\end{align}

　(\ref{節点解析例式2-2})を解くと、

\begin{align}
\begin{pmatrix}v_{b}\\ v_{c}\\v_{e}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}2&-1/2&-1\\ -1/2&2&-1\\
-1&-1&3\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}5\\ 0\\5\end{pmatrix} \notag \\
&=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4&2&2\\ 2&4&2 \\ 2&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\0\\5\end{pmatrix}\notag \\
&=\begin{pmatrix}4&2&2\\ 2&4&2 \\ 2&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\4\\5 \end{pmatrix}\label{節点解析例式2-3}\tag{6}
\end{align}

となる。

　最後に(\ref{節点解析例式2-3})の結果から\(i_{1},v_{6}\)を求める。

　\(i_{1}\)については、節点\(b\)から節点\(e\)に向かう向きに流れているため

\begin{align}
&i_{1}=\frac{v_{b}-v_{e}}{R_{1}}=\frac{6-5}{1}=1\,\text{A}
\end{align}

となる。

　また\(v_{6}\)については、矢印とは逆向きに電圧降下があるとしているため、\(R_{6}\)を流れる電流は節点\(b\)から節点\(c\)に向かう向きに流れる。

　よって

\begin{align}
v_{6}=v_{b}-v_{c}=6-4=2\,\text{V}
\end{align}

となる。

　以上より\(\boxed{i_{1}=1\,\text{A},\,v_{6}=2\,\text{V}}\)となる。

終わりに

　勉強しながら、ぶっちゃけ実際の回路設計で使う場面あるのか？と思いながらも面白くてゴリゴリ計算を進めていった。

　個人的にはトランジスタをもう少しやりたいのだが、良い教材ないかな…

　END