【高校物理・力学】外力がない2物体間の衝突～運動量保存則と反発係数～

　高校力学の大きなテーマの1つが衝突である。

　と言ってもそこまで難しいものではなく、基本的には2つの式を立てて連立させてしまえば解けてしまうことが多い。

　本記事では、ターゲットを外力が存在しない2物体間の衝突に絞り、典型問題を通して問題の種類に応じた解き方を解説する。

問題のパターン

　結論を先に述べると、摩擦力などの外力がかかっていない(静止または等速運動している)2物体間の衝突は、運動量保存則、反発係数の式、力学的エネルギー保存の法則の3つの内の2つ以内で記述できる。

　さらに問題の種類は、直線上の2物体間の衝突、平面上の2物体間の弾性衝突、片方が動かない(壁や床など)2物体間の衝突の3種類に大別される。

　それぞれのパターンで用いる法則、定義をまとめると下記の通りになる。

　ただし速度の成分の添え字として、水平成分には\(x\)を、鉛直成分には\(y\)をつけている。(例：\(v_{x},v_{y}\))

問題演習

　これらを実感するために、下記の問題を解いてみよう。

解説

　水平右向き、鉛直上向きを正に取る。

(1)

　小球AとBの質量をそれぞれ\(m_{\text{A}},m_{\text{B}}\)、衝突前の速さをそれぞれ\(v_{\text{A}},v_{\text{B}}\)、衝突後の速さをそれぞれ\(v’_{\text{A}},v’_{\text{B}}\)とする。

　AとBの衝突は「直線上の2物体間の衝突」であるため運動量保存則(\ref{tyoku2-1})と反発係数の式(\ref{tyoku2-2})を利用する。

　まず(\ref{tyoku2-1})より

\begin{gather}
m_{\text{A}}v_{\text{A}}+m_{\text{B}}v_{\text{B}}=m_{\text{A}}v’_{\text{A}}+m_{\text{B}}v’_{\text{B}}\\
8.0\,\text{kg}\times 1.0\,\text{m/s}+4.0\,\text{kg}\times 0\,\text{m/s}=8.0\,\text{kg}\times v’_{\text{A}}+4.0\,\text{kg}\times v’_{\text{B}}\\
8.0\,\text{m/s}=8.0v’_{\text{A}}+4.0v’_{\text{B}}\\
2.0\,\text{m/s}=2.0v’_{\text{A}}+v’_{\text{B}} \label{1-1}\tag{7}
\end{gather}

となる。

　続いて(\ref{tyoku2-2})より

\begin{gather}
e_{1}=-\frac{v’_{\text{A}}-v’_{\text{B}}}{v_{\text{A}}-v_{\text{B}}}\\
\frac{1}{2}=-\frac{v’_{\text{A}}-v’_{\text{B}}}{1.0\,\text{m/s}-0\,\text{m/s}}\\
1\,\text{m/s}=-2(v’_{\text{A}}-v’_{\text{B}})\label{1-2}\tag{8}
\end{gather}

となる。

　よって(\ref{1-1})と(\ref{1-2})より、求める速さはそれぞれ\(\boxed{v’_{\text{A}}=0.5\,\text{m/s},\, v’_{\text{B}}=1.0\,\text{m/s}}\)となる。

　

(2)

　さらに、両者の衝突前の水平方向の速さを\(v_{\text{B}x},v_{\text{C}x}\)、衝突前の鉛直方向の速さを\(v_{\text{B}y},v_{\text{C}y}\)、両者の衝突後の水平方向の速さを\(v’_{\text{B}x},v’_{\text{C}x}\)、衝突後の鉛直方向の速さを\(v’_{\text{B}y},v’_{\text{C}y}\)とする。

　BとCの衝突は「平面上の2物体間の弾性衝突」であるため運動量保存則(\ref{hei2-1}),(\ref{hei2-2})と力学的エネルギー保存の法則(\ref{hei2-3})を利用する。

　まず(\ref{hei2-1})より

\begin{gather}
m_{\text{B}}v_{\text{B}x}+m_{\text{C}}v_{\text{C}x}=m_{\text{B}}v’_{\text{B}x}+m_{\text{C}}v’_{\text{C}x}\\
4.0\,\text{kg}\times 1.0\,\text{m/s}+1.0\,\text{kg}\times 0\,\text{m/s}=4.0\,\text{kg}\times v’_{\text{B}}\cos\theta_{\text{B}}+1.0\,\text{kg}\times v’_{\text{C}}\cos\theta_{\text{C}}\\
4.0\,\text{m/s}=4.0v’_{\text{B}}\cos\theta_{\text{B}}+v’_{\text{C}}\cos\frac{\pi}{3}\\
4.0\,\text{m/s}=4.0v’_{\text{B}}\cos\theta_{\text{B}}+\frac{1}{2}v’_{\text{C}} \\
8.0\,\text{m/s}=8.0v’_{\text{B}}\cos\theta_{\text{B}}+v’_{\text{C}}\label{2-1}\tag{9}
\end{gather}

となる。

　続いて(\ref{hei2-2})より

\begin{gather}
m_{\text{B}}v_{\text{B}y}+m_{\text{C}}v_{\text{C}y}=m_{\text{B}}v’_{\text{B}y}-m_{\text{C}}v’_{\text{C}y}\\
4.0\,\text{kg}\times 0\,\text{m/s}+1.0\,\text{kg}\times 0\,\text{m/s}=4.0\,\text{kg}\times v’_{\text{B}}\sin\theta_{\text{B}}-1.0\,\text{kg}\times v’_{\text{C}}\sin\theta_{\text{C}}\\
0\,\text{m/s}=4.0v’_{\text{B}}\sin\theta_{\text{B}}-v’_{\text{C}}\sin\frac{\pi}{3} \\
0\,\text{m/s}=4.0v’_{\text{B}}\sin\theta_{\text{B}}-\frac{\sqrt{3}}{2}v’_{\text{C}}\\
0\,\text{m/s}=8.0v’_{\text{B}}\sin\theta_{\text{B}}-\sqrt{3}\,v’_{\text{C}}\label{2-2}\tag{10}
\end{gather}

となる。

　さらに(\ref{hei2-3})より

\begin{gather}
\frac{1}{2}m_{\text{B}}v_{\text{B}}^{2}+\frac{1}{2}m_{\text{C}}v_{\text{C}}^{2}=\frac{1}{2}m_{\text{B}}{v’_{\text{B}}}^{2}+\frac{1}{2}m_{\text{C}}{v’_{\text{C}}}^{2}\\
4.0\,\text{kg}\times 1.0\,\text{m}^{2}/\text{s}^{2}+1.0\,\text{kg}\times 0\,\text{m}^{2}/\text{s}^{2}=4.0\,\text{kg}\times {v’_{\text{B}}}^{2}+1.0\,\text{kg}\times{v’_{\text{C}}}^{2}\\
4.0\,\text{m}^{2}/\text{s}^{2}=4.0{v’_{\text{B}}}^{2}+1.0{v’_{\text{C}}}^{2}\label{2-3}\tag{11}
\end{gather}

となる。

　よって(\ref{2-1})～(\ref{2-3})より、求める速さは\(\boxed{v’_{\text{C}}=0.8\,\text{m/s}}\)となる。

　

(3)

　さらに、衝突前の水平方向の速さを\(v_{\text{C}x}\)、衝突前の鉛直方向の速さを\(v_{\text{C}y}\)、衝突後の水平方向の速さを\(v’_{\text{C}x}\)、衝突後の鉛直方向の速さを\(v’_{\text{C}y}\)とする。

　Cと壁の衝突は「片方が動かない2物体間の衝突」であるため、反発係数の式(\ref{kabe1})を利用する。

　よって(\ref{kabe1})より

\begin{gather}
e_{2}=-\frac{v’_{\text{C}y}}{v_{\text{C}y}}\\
\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{v’_{\text{C}}\sin\theta’_{\text{C}}}{v_{\text{C}}\sin\theta_{\text{C}}}\\
\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{v’_{\text{C}}\sin\theta’_{\text{C}}}{0.8\,\text{m/s}\times\displaystyle{\sin\frac{\pi}{3}}}\\
-\frac{1}{\sqrt{3}}\times 0.8\,\text{m/s}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=v’_{\text{C}}\sin\theta’_{\text{C}}\\
v’_{\text{C}}\sin\theta’_{\text{C}}=-0.4\,\text{m/s}\label{3-1}\tag{12}
\end{gather}

となる。

　さらに壁は滑らかであり、衝突時に摩擦力が発生せず速度の水平成分は変化しないため、

\begin{gather}
v_{\text{C}x}=v’_{\text{C}x}\\
v_{\text{C}}\cos\theta_{\text{C}}=v’_{\text{C}}\cos\theta’_{\text{C}}\\
0.8\,\text{m/s}\times\cos\frac{\pi}{3}=v’_{\text{C}}\cos\theta’_{\text{C}}\\
v’_{\text{C}}\cos\theta’_{\text{C}}=0.4\,\text{m/s}\label{3-2}\tag{13}
\end{gather}

となる。

　よって(\ref{3-1})、(\ref{3-2})より、求める速さは\(\boxed{v’_{\text{C}}=0.4\sqrt{2}\,\text{m/s}}\)となる。

終わりに

　外力がはたらかない系については、上の問題で解き方をマスターすれば他でも応用が効くだろう。

　次回は外力がはたらく場合として、重力が加わる問題を見ていこうと思う。

　次回はこちら。