【高校物理・力学】剛体のつりあい①～力の求め方～

①　剛体にはたらいている力を全て探す。

②　力のつりあいの式を立てる。

③　任意の点(指定があればその点)のまわりの力のモーメントのつりあいの式を立てる。

④　②、③で立てた式を連立方程式として解く。

①　まず棒にかかる力をすべて書き出すと図3のようになる。

②　今回は棒に水平方向の力がはたらいていないため、鉛直方向の力のみを考えれば十分である。
　鉛直上向きを正とすると、図3より鉛直方向の力のつりあいの式は次のようになる。

$$\begin{gather} (+2.5\times10^{2}x)+(-30)+(-20)=0\\ \therefore 2.5\times10^{2}x-30-20=0 \label{for.1.1}\tag{1} \end{gather}$$

③　今回は「ばねと棒の接点Oを回転軸にとって」という指定があるため、点Oまわりの力のモーメントのつりあいの式を立てる。
　図2から力のモーメントのつりあいの式は次のようになる。
　(ばねからの張力は作用線上に回転軸Oがあるので省略。)

$$\begin{align} (+30\times{y})+\{-20\times{(1.0-y)}\}=0 \qquad \therefore 30y-20(1.0-y)=0 \label{for.1.2}\tag{2} \end{align}$$

④　②と③で立てた式($\ref{for.1.1}$)、($\ref{for.1.2}$)を連立方程式とみなして解くと、次のような結果となる(連立方程式とはいっても、それぞれが$x,y$の1次方程式なのだが)。

$$\begin{align} x=0.20\,\text{m} \qquad y=0.40\,\text{m} \end{align}$$

①　まず棒にかかる力をすべて書き出すと図5のようになる。
　問題文中に「一様な太さの棒」とあるが、これは「棒にはたらく重力は、すべて棒の中点に加わるとしてよい」ことを示している。

②　今回は水平方向、鉛直方向の両方の力を考える必要がある。
　右向き、鉛直上向きを正とすると、図5より水平方向の力のつりあいの式は次のようになる。

$$\begin{align} (+F)+(-T)=0 \qquad \therefore F-T=0 \label{for.2.1}\tag{3} \end{align}$$

　さらに図5より鉛直方向の力のつりあいの式は次のようになる。

$$\begin{align} (+R)+(-mg)=0 \qquad \therefore R-mg=0 \label{for.2.2}\tag{4} \end{align}$$

③　今回は「水平面と棒の接点Aを回転軸にとって」という指定があるため、点Aまわりの力のモーメントのつりあいの式を立てる。
　図6より力のモーメントのつりあいの式は次のようになる。
　($R,\,F$は作用線上に回転軸Aがあるので省略。)

$$\begin{gather} \left(-mg\times{\frac{L}{2}\cos{\theta}}\right)+(T\times L\sin{\theta})=0 \\ \therefore TL\sin\theta-\frac{mgL\cos\theta}{2}=0 \label{for.2.3}\tag{5} \end{gather}$$

④　②と③で立てた式($\ref{for.2.1}$)～($\ref{for.2.3}$)を連立方程式とみなして解く。
　まず式($\ref{for.2.2}$)より、

$$\begin{align} R=mg \label{for.2.4}\tag{6} \end{align}$$

となる。続いて式($\ref{for.2.3}$)より、

$$\begin{align} TL\sin\theta=\frac{mgL\cos\theta}{2} \qquad \therefore T=\frac{mg}{2\tan\theta} \qquad \left(\displaystyle{\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}\text{より}\right) \label{for.2.5}\tag{7} \end{align}$$

となる。そして式($\ref{for.2.5}$)を式($\ref{for.2.1}$)に代入すると、次のようになる。

$$\begin{align} F-\frac{mg}{2\tan\theta}=0 \qquad \therefore F=\frac{mg}{2\tan\theta} \label{for.2.6}\tag{8} \end{align}$$

①　まず棒にかかる力をすべて書き出すと図8のようになる。
　「太さと密度の一様な太さの棒」を扱うため、棒にはたらく重力は、すべて棒の中点に加わるとしてよい。
　迷うとすれば半円柱から受ける垂直抗力$T$が加わる位置だが、これは円と接線の関係を考えればよい。
　円の接線は、接点を通る半径と直交する。
　この事実を利用すれば、点O、円柱と棒の接点、円柱の中心の3点を各頂点とした直角二等辺三角形が出現することがわかる。
　よって、垂直抗力$T$は棒の下端Oから$r[\text{m}]$の位置に加わることがわかる。

②　今回は水平方向、鉛直方向の両方の力を考える必要がある。
　垂直抗力$T$は水平成分と鉛直成分に分解して、各分力を各成分のつりあいの式に組み入れればよい。
　右向き、鉛直上向きを正とすると、図8より水平方向の力のつりあいの式は次のようになる。

$$\begin{align} (+T\cos{45°})+(-F)=0 \qquad \therefore \frac{T}{\sqrt{2}}-F=0 \label{for.3.1}\tag{9} \end{align}$$

　さらに図8より鉛直方向の力のつりあいの式は次のようになる。

$$\begin{align} (+R)+(+T\sin{45°})+(-mg)=0 \qquad \therefore R+\frac{T}{\sqrt{2}}-mg=0 \label{for.3.2}\tag{10} \end{align}$$

③　今回は「水平面と棒の接点Oを回転軸にとって」という指定があるため、点Oまわりの力のモーメントのつりあいの式を立てる。
　図9より力のモーメントのつりあいの式は次のようになる。
　($R,\,F$は作用線上に回転軸があるので省略。)

$$\begin{align} &\left(+mg\times{\frac{L}{2}\cos{45°}}\right)+(-T\times r)=0\\ &\therefore \frac{\sqrt{2}mgL}{4}-Tr=0 \label{for.3.3}\tag{11} \end{align}$$

④　②と③で立てた($\ref{for.3.1}$)～($\ref{for.3.3}$)を連立方程式とみなして解く。
　まず($\ref{for.3.3}$)より、

$$\begin{align} Tr=\frac{\sqrt{2}mgL}{4} \qquad \therefore T=\frac{\sqrt{2}mgL}{4r}\,[\mathrm{N}] \label{for.3.4}\tag{12} \end{align}$$

となる。
　よって($\ref{for.3.4}$)を($\ref{for.3.1}$)に代入して、

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}mgL}{4r}-F=0 \qquad \therefore F=\frac{mgL}{4r}\,[\mathrm{N}] \label{for.3.5}\tag{13} \end{align}$$

となる。
　そして($\ref{for.3.4}$)を($\ref{for.3.2}$)に代入すると、次のようになる。

$$\begin{align} R+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}mgL}{4r}-mg=0 \qquad \therefore R=mg\left(1-\frac{L}{4r}\right)[\mathrm{N}] \label{for.3.6}\tag{14} \end{align}$$