【確率・統計】条件付き確率とベイズの定理

　本記事では、条件付き確率が絡む「ベイズの定理」について解説する。　

　G検定でも頻出の定理だが、参考書では定理だけ示され、導出過程などはすっ飛ばされることが多い。

　本記事では自分が理解した範囲で、条件付き確率の定義からスタートし、導出、応用まで扱う。

条件付き確率

　まずは「条件付き確率」とはそもそも何か、という話から。

　結論から先に述べると、条件付き確率とは下記のようなものだ。

　表記の仕方にはいくつか種類があり、同時確率$P(A\cap B)$を$P(A,B)$、条件付き確率を $P(A|B)$ を $P_{B}(A)$と表したりする。

　

$$\begin{gather} P(A)=\frac{X(A)}{X(U)} \label{Apro}\tag{2}\\ P(B)=\frac{X(B)}{X(U)} \label{Bpro}\tag{3}\\ P(A\cap B)=\frac{X(A\cap B)}{X(U)} \label{AcBpro}\tag{4} \end{gather}$$

　以上より、事象Bが起きた上で事象Aが起こる確率を$P(A|B)$とすると、

$$\begin{align} P(A|B)=\frac{X(A\cap B)}{X(B)} \label{pab1}\tag{5} \end{align}$$

となる。

　よって($\ref{pab1}$)に($\ref{Bpro}$)、($\ref{AcBpro}$)を代入すると、

$$\begin{align} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)X(U)}{P(B)X(U)}=\frac{ P(A\cap B) }{P(B)} \end{align}$$

となり、($\ref{acbpro2}$)と一致する。

ベイズの定理

　さて準備が整ったところで、ベイズの定理を見てみる。

　証明は($\ref{acbpro2}$)を利用すればよい。

　$P(B|A)$は($\ref{acbpro2}$)より

$$\begin{align} P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \label{bcapro2}\tag{3} \end{align}$$

となるため、($\ref{bcapro2}$)を変形して($\ref{acbpro2}$)に代入すれば($\ref{bayes}$)となる。

例題1：サイコロ

　ここでまず条件付き確率を扱った例題を解いてみる。

解説

(1)

　1回目の試行で出た目を$j_{1}$、2回目の試行で出た目を$j_{2}$とすると、2回の試行の内のいずれかで5の目が出る事象は$(j_{1},j_{2})=(1,5), (5,1), (2,5), (5,2), (3,5), (5,3), (4,5), (5,4), (5,5), (6,5), (5,6)$の11通りである。

　全事象は36通り存在するため、求める確率は$\boxed{\displaystyle{\frac{11}{36}}}$となる。

　

(2)

　出た目の合計が7である事象は$(j_{1},j_{2})=(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)$の6通りである。

　これらの内で5の目が出る事象は$(j_{1},j_{2})=(2,5), (5,2)$の2通りであるため、求める確率は$\displaystyle{\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}$より$\boxed{\displaystyle{\frac{1}{3}}}$となる。

　

例題2：感染検査

　続いてベイズの定理を利用した、より実践的な例題を扱う。

　頻出なのは以下に示すような、病原菌やウイルスの感染検査の有効性を問う問題だ。

解説

　今回知りたいのは「検査の陽性者の中でのウイルスAの感染者の割合」である。

　よって陽性者を母集団とした感染確率を求めればよく、これは条件付き確率$P(感|陽)$に他ならない。

　よってベイズの定理より

$$\begin{align} P(感|陽)=\frac{P(陽|感)P(感)}{P(陽)} \label{病気1}\tag{4} \end{align}$$

となるため、$P(陽|感),P(感),P(陽)$の3つが分かれば$P(感|陽)$が判明する。

　まず$P(陽|感)$だが、これはウイルスAの感染者の中で検査結果が陽性になる確率であるため、$P(陽|感)=95\%=0.95$となる。

　続いて$P(感)$だが、これは母集団'(全体)に対する感染確率であるため$P(感)=0.1\%=0.001$となる。

　最後に$P(陽)$だが、これは母集団(全体)で検査結果が陽性になる確率であるため、感染者でありかつ陽性者である確率$P(陽\cap 感)$と、非感染者かつ陽性者である確率$P(陽\cap 非感)$の総和で表される。

　よって

$$\begin{align} P(陽)&= P(陽\cap 感) + P(陽\cap 非感) \\ &=P(陽|感)P(感) + P(陽|非感)P(非感)\quad(条件付き確率の定義(\ref{acbpro2})より。) \\ &=(0.95\times 0.001)+\{0.01\times(1-0.001)\}\\ &=0.01094 \label{病気2}\tag{5} \end{align}$$

となる。

　以上の結果を($\ref{病気1}$)に代入すれば

$$\begin{align} P(感|陽)=\frac{0.95\times 0.001}{0.01094}=0.0868 \end{align}$$

となり、検査の陽性者が実際にウイルスAに感染している確率は約$\boxed{8.7\%}$となる。

事前確率と事後確率

　ここで先ほどの例題から、ベイズの定理で何ができるのかをもう少し詳しく見ていく。

　問題を解く前に、自分たちが把握していたのは母集団に対する感染確率$P(感)$だった。

　この$P(感)$を把握した上で、「病気検査を実施して陽性となった」という条件が加わった上での感染確率$P(感|陽)$を求めるのがこの問題の目的だった。

　これは、条件なしの確率$P(感)$に新たな情報(条件)が加わり、更新された確率$P(感|陽)$を求める問題とも言い換えることができる。

　この情報が加わる前の確率$P(感)$を事前確率、情報が与えられて更新された確率$P(感|陽)$を事後確率と呼ぶ。

終わりに

　事前確率、事後確率、ベイズの定理はG検定でも出題される事項だが、自分の受験時の理解度は中途半端だった。

　ちゃんと理解するにはそれなりに時間をかける必要があったが、わかってくると面白い。

　いっそのこと、高校数学から確率を勉強し直してみるか…？

　

　END