【ベクトル解析】線積分～概要と例題(直線、円に沿った線積分)～

　物理をする上で必須となる数学の内の1つが「ベクトル解析」だ。

　座標の各点に量と向き(要はベクトル)を与える「ベクトル場」なるものが登場し、主にその微分と積分を扱う単元になる。

　ベクトルの微分がいわゆるグラディエント($\text{grad}$,勾配)、ダイバージェンス($\text{div}$,発散)、ローテーション($\text{rot}$,回転)であり、これらは計算自体は難しいものではないため覚えやすい。

　しかし厄介なのが積分、すなわち線積分と面積分だ。

　両者とも電磁気学では必須の数学なのだが、一般的な関数に対する積分とは計算の仕方が結構異なり、注意が必要になる部分も多い。

　私自身、両者とも計算方法をすぐに忘れることが多く、電磁気学の復習時もかなり苦労した。

　そこで今回からは私自身の備忘録も兼ねて、線積分と面積分の計算法と例題をまとめ、記事にしていこうと思う。

　まずは線積分から見ていく。

概要

　線積分では「線」と書かれている通り、ある座標系に線を引き、その線に沿って積分を実行する。

　その線では直線でも曲線でも良いし、開いていても閉じていても良い。

　しかし、積分されるものが関数ではなくベクトル場であることが、これまでの積分との大きな違いだ。

　

　例えばベクトル場$\vec{A}$があったとき、これを経路$C$に沿って線積分する場合は

$$\begin{align} \int_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r} \end{align}$$

　を計算する。
　ただし$d\vec{r}$は経路$C$を細かく分割した微小ベクトルであり、線素ベクトルと呼ばれる。

　

　線積分の基本的な計算の手順は下記のようになる。

　経路$C$が複雑な場合は、経路上の位置ベクトル$\vec{r}$を1つの変数で表せられるまで単純な経路に分割し、各経路について上記の計算を実施して、最後にそれらを足し上げればよい。

　

　これだけではまだイメージがつかないだろうから、実際に例題を解いていこう。

例題1

解説

(1)

　まずは経路$c$上の位置ベクトル$\vec{r}$を1つの変数で表す。
　積分経路$c$は3本の線分から構成されているため、各線分の線積分を計算して足し上げることにする。

(i)　線分AB上での線積分

　線分AB上の位置ベクトルを$\vec{r}_{1}$とすると、

$$\begin{align} \vec{r}_{1}=(1,t,0) \tag{1} \end{align}$$

となるため、線素ベクトル$d\vec{r}_{1}$は

$$\begin{align} d\vec{r}_{1}=dt\frac{d}{dt}\vec{r}_{1}=dt(0,1,0) \tag{2}\label{sensekirei1-1-1} \end{align}$$

となる。
　さらにベクトル場$\vec{A}$に位置ベクトル$\vec{r}_{1}$を適用すると

$$\begin{align} \vec{A}=(-at,a,0) \tag{3}\label{sensekirei1-1-2} \end{align}$$

となる。
　よって経路の矢印の向きを考慮すると積分範囲は$t：0\to 1$となるため、線分AB上での線積分は($\ref{sensekirei1-1-1}$)と($\ref{sensekirei1-1-2}$)より

$$\begin{align} \int_{\text{AB}}\vec{A}\cdot d\vec{r}_{1}=\int_{0}^{1}(-at,a,0)\cdot dt(0,1,0)=a\int_{0}^{1}dt=a \tag{4} \end{align}$$

となる。

(ii)線分BC上での線積分

　線分BC上での位置ベクトルを$\vec{r}_{2}$とすると、

$$\begin{align} \vec{r}_{2}=(t,1,0) \tag{5} \end{align}$$

となるため、線素ベクトル$d\vec{r}_{2}$は

$$\begin{align} d\vec{r}_{2}=dt\frac{d}{dt}\vec{r}_{2}=dt(1,0,0) \tag{6}\label{sensekirei1-2-1} \end{align}$$

となる。
　さらにベクトル場$\vec{A}$に位置ベクトル$\vec{r}_{2}$を適用すると

$$\begin{align} \vec{A}=(-a,at,0) \tag{7}\label{sensekirei1-2-2} \end{align}$$

となる。
　よって経路の矢印の向きを考慮すると積分範囲は$t：1\to 0$となるため、線分BC上での線積分は($\ref{sensekirei1-2-1}$)と($\ref{sensekirei1-2-2}$)より

$$\begin{align} \int_{\text{BC}}\vec{A}\cdot d\vec{r}_{2}=\int_{1}^{0}(-a,at,0)\cdot dt(1,0,0)=-a\int_{1}^{0}dt=a \tag{8} \end{align}$$

となる。

(iii)線分CA上での線積分

　線分CA上での位置ベクトルを$\vec{r}_{3}$とすると、

$$\begin{align} \vec{r}_{3}=(t,-t+1,0) \tag{9} \end{align}$$

となるため、線素ベクトル$d\vec{r}_{3}$は

$$\begin{align} d\vec{r}_{3}=dt\frac{d}{dt}\vec{r}_{3}=dt(1,-1,0) \tag{10}\label{sensekirei1-3-1} \end{align}$$

となる。
　さらにベクトル場$\vec{A}$に位置ベクトル$\vec{r}_{3}$を適用すると

$$\begin{align} \vec{A}=(-a(-t+1),at,0)=(a(t-1),at,0) \tag{11}\label{sensekirei1-3-2} \end{align}$$

となる。
　よって経路の矢印の向きを考慮すると積分範囲は$$t：0\to 1$となるため、線分CA上での線積分は($\ref{sensekirei1-3-1}$)と($\ref{sensekirei1-3-2}$)より

$$\begin{align} \int_{\text{CA}}\vec{A}\cdot d\vec{r}_{3}&=\int_{0}^{1}(a(t-1),at,0)\cdot dt(1,-1,0) \notag \\ &=\int_{0}^{1}\{a(t-1)-at\}dt \notag \\ &=-a\int_{0}^{1}dt=-a \tag{12} \end{align}$$

となる。

　以上より、求める線積分は(i)～(iii)より

$$\begin{align} \int_{c}\vec{A}\cdot d\vec{r}=a+a-a=\boxed{a} \tag{13} \end{align}$$

となる。

　

(2)

　曲線$\ell$は原点Oを中心とする半径1の円の一部であるため、その位置ベクトルを$\vec{r}$とすると極座標表示を用いて

$$\begin{align} \vec{r}=(\cos\theta,\sin\theta,0) \tag{14} \end{align}$$

となる。
　よって線素ベクトル$d\vec{r}$は

$$\begin{align} d\vec{r}=d\theta\frac{d}{d\theta}\vec{r}=d\theta(-\sin\theta,\cos\theta,0) \tag{15}\label{sensekirei1-4-1} \end{align}$$

となる。
　さらにベクトル場$\vec{A}$に位置ベクトル$\vec{r}$を適用すると

$$\begin{align} \vec{A}=(-a\sin\theta,a\cos\theta,0) \tag{16}\label{sensekirei1-4-2} \end{align}$$

となる。
　よって経路の矢印の向きを考慮すると積分範囲は$\theta：0\to \pi/2$となるため、曲線$\ell$上での線積分は($\ref{sensekirei1-4-1}$)と($\ref{sensekirei1-4-2}$)より

$$\begin{align} \int_{\ell}\vec{A}\cdot d\vec{r}&=\int_{0}^{\pi/2}(-a\sin\theta,a\cos\theta,0)\cdot d\theta(-\sin\theta,\cos\theta,0) \notag \\ &=\int_{0}^{\pi/2}a(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)d\theta \notag \\ &=a\int_{0}^{\pi/2}d\theta=\boxed{\frac{\pi a}{2}}\tag{17} \end{align}$$

となる。

例題2

解説

　まずは線分OP上の位置ベクトル$\vec{r}$を1つの変数で表す。

　線分OPの位置ベクトルを$\vec{r}$とすると、

$$\begin{align} \vec{r}=(t,t,t) \tag{18} \end{align}$$

となるため、線素ベクトル$d\vec{r}$は

$$\begin{align} d\vec{r}=dt\frac{d}{dt}\vec{r}=dt(1,1,1) \tag{19}\label{sensekirei2-1} \end{align}$$

となる。
　さらにベクトル場$\vec{A}$に位置ベクトル$\vec{r}$を適用すると

$$\begin{align} \vec{A}=a(t^{3},-t^{6},t^{4}) \tag{20}\label{sensekirei2-2} \end{align}$$

となる。
　よって経路の向きを考慮すると積分範囲は$t：0\to 1$となるため、線分OP上での線積分は($\ref{sensekirei2-1}$)と($\ref{sensekirei2-2}$)より

$$\begin{align} \int_{\ell}\vec{A}\cdot d\vec{r}&=\int_{0}^{1}a(t^{3},-t^{6},t^{4})\cdot dt(1,1,1) \notag \\ &=\int_{0}^{1}a(-t^{6}+t^{4}+t^{3})dt \notag \\ &=a\left[-\frac{t^{7}}{7}+\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{4}}{4}\right] \notag \\ &=a\left(-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right)=\boxed{\frac{43}{140}a} \tag{21} \end{align}$$

となる。

終わりに

　線積分に関してはここで締める。

　線積分する経路をパラメーター表示した上で線素ベクトルを求めることが出来れば、そこまでハードルは高くないと思う。

　次回は面積分を取り扱う予定だ。

　

　END